65537-gen
65537-gen

65537-gen, 65.537 kenarı ve 65.537 köşesi olan bir çokgendir. Tüm kenarları ve iç açıları birbirine eşit olan türüne düzgün 65537-gen denir. İç açılarının toplamı $11.796.300^\circ$ olup, bir iç açısı yaklaşık $179,9945^\circ$ değerindedir.

Geometrik Özellikler

Düzgün bir 65537-genin özellikleri şunlardır:

  • Kenar Sayısı ($n$): $65.537$
  • İç Açı: $\frac{180(n-2)}{n} \approx 179,9945^\circ$
  • Dış Açı: $\frac{360}{n} \approx 0,00549^\circ$

Bu çokgeni görsel olarak bir çemberden ayırt etmek neredeyse imkansızdır; çünkü kenar sayısı arttıkça şekil bir çembere son derece yaklaşır.

Çizilebilirlik

65537-genin en önemli özelliği, sadece cetvel ve pergel kullanılarak çizilebilir olmasıdır. Bu, 65.537 sayısının bir Fermat asalı olmasından kaynaklanır.

Carl Friedrich Gauss tarafından kanıtlanan Gauss-Wantzel teoremi, düzgün bir $n$-genin ancak ve ancak $n$ sayısı, 2'nin bir kuvveti ile farklı Fermat asallarının çarpımı şeklindeyse ($n = 2^k \cdot p_1 \cdot p_2 \dots$) çizilebileceğini belirtir.

65.537 sayısı bir Fermat asalıdır:

$$F_4 = 2^{2^4} + 1 = 2^{16} + 1 = 65.537$$

Şu ana kadar bilinen sadece beş adet Fermat asalı vardır: 3, 5, 17, 257 ve 65.537. Bu nedenle 65537-gen, bilinen en karmaşık "çizilebilir" tek sayılı düzgün çokgendir.

Tarihçe ve Çizim Çalışmaları

65537-genin cetvel ve pergel ile çizilebileceği ilk kez Gauss tarafından 1801 civarında öne sürülmüş olsa da, somut bir çizim yöntemi geliştirmek çok daha uzun sürmüştür.

  • Johann Gustav Hermes: 1894 yılında, düzgün bir 65537-genin çizimi için gerekli olan geometrik adımları içeren devasa bir yöntem geliştirmiştir. Hermes, bu çalışma üzerinde 10 yıl boyunca uğraşmış ve hazırladığı 200 sayfalık el yazması şu anda Göttingen Üniversitesi'nde saklanmaktadır.

Kültürel Etki

Matematik dünyasında "imkansıza yakın ama teorik olarak mümkün" olanın bir sembolü haline gelmiştir. Bu çokgeni elle çizmeye çalışmak, aşırı sabır ve hassasiyet gerektiren beyhude bir çaba olarak nitelendirilir.

Ayrıca Bakınız:

  • Fermat sayısı
  • Cetvel ve pergel çizimi
  • 17-gen (Heptadekagon)
  • 257-gen

Kaynakça:

  1. Gauss, C. F., Disquisitiones Arithmeticae, 1801.
  2. Hermes, Johann Gustav, "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile", 1894.
  1. ↑ Weisstein, Eric W. "65537-gon". mathworld.wolfram.com (İngilizce). 30 Nisan 2026 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Nisan 2026. 
  2. ↑ 65537-gon (İngilizce), 1 Nisan 202625 Nisan 2026 
  3. ↑ "Numberphile". Numberphile (İngilizce). 7 Nisan 2026. 2 Haziran 2026 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Nisan 2026. 
  4. ↑ "A000668 - OEIS". oeis.org. 27 Ekim 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 25 Nisan 2026. 
  5. ↑ Öffentlichkeitsarbeit, Georg-August-Universität Göttingen-. "Universität Göttingen - Georg-August-Universität Göttingen". Georg-August Universität Göttingen (Almanca). Erişim tarihi: 25 Nisan 2026. Arşivlenmesi gereken bağlantıya sahip kaynak şablonu içeren maddeler (link)