Bessel fonksiyonu

Bessel fonksiyonları ilk önce Daniel Bernoulli tarafından tanımlanmış ve Friedrich Bessel tarafından genelleştirilmiş

x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − α 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}

diferansiyel denkleminin kanonik çözümleridir.

Bessel fonksiyonları Helmholtz denklemi'nin silindirik koordinatlardaki ayrıştırılabilir çözümleridir. Bunun sonucu olarak özellikle dalga yayılım problemleriyle ilişkilidirler, örnek olarak

• Silindirik dalga kılavuzu içerisinde dalga yayılımı
• Silindirik cisimlerden dalga saçılması
• Frekans modülasyonu

I₀

Neumann fonksiyonu olarak da adlandırılır. α ∈ N {\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} } olması durumunda J α {\displaystyle J_{\alpha }} ve J − α {\displaystyle J_{-\alpha }} doğrusal bağımlı olacağından, doğrusal bağımlı olmayan ikinci türden bir çözüme ihtiyaç duyulmuştur.

Özellikle dalga yayılım problemleriyle ilişkili olarak tanımlanırlar.

H α ( 1 ) ( x ) = J α ( x ) + i Y α ( x ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)}

H α ( 2 ) ( x ) = J α ( x ) − i Y α ( x ) {\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)}