İstatistik dizisinin bir parçası
Olasılık teorisi
Bernoulli
Olasılık kütle fonksiyonu
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Parametreler 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1\,} (reel)
Destek k = { 0 , 1 } {\displaystyle k=\{0,1\}}
Olasılık kütle fonksiyonu (OYF) q k = 0  için p k = 1  için {\displaystyle {\begin{matrix}q&k=0{\text{ için}}\\p&k=1{\text{ için}}\end{matrix}}}
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF) 0 for  k < 0 q for  0 ≤ k < 1 1 for  k ≥ 1 {\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}}
Ortalama p {\displaystyle p}
Medyan yok
Mod 0 if  q > p 0 , 1 if  q = p 1 if  q < p {\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}}
Varyans p q {\displaystyle pq}
Çarpıklık q − p p q {\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}}
Fazladan basıklık 6 p 2 − 6 p + 1 p ( 1 − p ) {\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}
Entropi − q ln ⁡ ( q ) − p ln ⁡ ( p ) {\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)}
Moment üreten fonksiyon (mf) q + p e t {\displaystyle q+pe^{t}}
Karakteristik fonksiyon q + p e i t {\displaystyle q+pe^{it}}

Bernoulli dağılımı olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, p olasılıkla başarı ile 1 değeri alan ve q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} olasılıkla başarısızlık ile 0 değeri alan bir ayrık olasılık dağılımıdır. İsmi ilk açıklamayı yapan İsviçreli bilim insanı Jakob Bernoulli anısına verilmiştir.

Eğer X Bernoulli dağılımı gösteren bir rassal değişken ise;

Pr ( X = 1 ) = 1 − Pr ( X = 0 ) = 1 − q = p . {\displaystyle \Pr(X=1)=1-\Pr(X=0)=1-q=p.\!}

Bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu f şöyle ifade edilir:

f ( k ; p ) = { p eger  k = 1 , 1 − p  eger  k = 0 , 0 diger hallerde. {\displaystyle f(k;p)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{eger }}k=1,\\1-p&{\mbox{ eger }}k=0,\\0&{\mbox{diger hallerde.}}\end{matrix}}\right.}

Bir Bernoulli rassal değişkeni X için beklenen değer

E ( X ) = p {\displaystyle E\left(X\right)=p} ,

ve varyans

var ( X ) = p ( 1 − p ) . {\displaystyle {\textrm {var}}\left(X\right)=p\left(1-p\right).\,}

olur.

Bernoulli dağılımı için yüksek veya düşük p değerlerinde basıklık ölçüsü sonsuzluğa yaklaşır. Fakat p = 1 / 2 {\displaystyle p=1/2} için basıklık derecesi ölçümü -2 olup, bu değer diğer bütün olasılık dağılımlar için basıklık ölçüleri ile karşılaştırıldığında bunun en küçük olduğu görülür.

Bernoulli dağılımı üstel ailesi içinde bulunan bir dağılımdır.

İlişkili dağılımlar

  • Eger X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} bağımsız fakat aynen dağılım gösteren ve her biri p başarı olasılığı ile Bernoulli dağılımı gösteren rassal değişkenler olurlarsa,

Y = ∑ k = 1 n X k ∼ B ( n , p ) {\displaystyle Y=\sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \mathrm {B} (n,p)}

yani bir binom dağılımdir.

İçsel kaynaklar