Beta fonksiyonunun kontür çizimi.
Pozitif gerçel x ve y değerleri için beta fonksiyonunun üç boyutlu bir çizimi.

Matematikte beta fonksiyonu, aynı zamanda birinci türden Euler integrali, karmaşık sayılarda tanımlı özel bir fonksiyondur ve gama fonksiyonu ve binomiyel katsayılarla yakından ilişkilidir. Beta fonksiyonu:

z 1 , z 2 ∈ C {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} } ve Re ( z 1 ) , Re ( z 2 ) > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}(z_{1}),{\textrm {Re}}(z_{2})>0} için

B ( z 1 , z 2 ) = ∫ 0 1 t z 1 − 1 ( 1 − t ) z 2 − 1 d t {\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\!}

eşitliği ile tanımlanmıştır.

Beta fonksiyonunun sembolü Β bir yunanca harf olan beta harfinin büyük halidir. Fonksiyon Jacques Binet tarafından isimlendirilmiştir ve ilk olarak Leonhard Euler ile Adrien-Marie Legendre tarafından incelenmiştir.

Özellikleri

Beta fonksiyonu girdilerinde simetriktir, yani

B ( z 1 , z 2 ) = B ( z 2 , z 1 ) . {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1}).\!}

Beta fonksiyonu başka şekillerde ve başka eşitliklerle de yazılabilir:

B ( z 1 , z 2 ) = Γ ( z 1 ) Γ ( z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) , {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\dfrac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}},\!}
B ( z , z ) = B ( z ) = Γ ( z ) 2 Γ ( 2 z ) ; {\displaystyle \mathrm {B} (z,z)=\mathrm {B} (z)={\dfrac {\Gamma (z)^{2}}{\Gamma (2z)}};\!}
B ( z 1 , z 2 ) = 2 ∫ 0 π / 2 ( sin ⁡ θ ) 2 z 1 − 1 ( cos ⁡ θ ) 2 z 2 − 1 d θ , Re ( z 1 ) > 0 ,   Re ( z 2 ) > 0 {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(z_{1})>0,\ {\textrm {Re}}(z_{2})>0\!}
B ( z 1 , z 2 ) = ∫ 0 ∞ t z 1 − 1 ( 1 + t ) z 1 + z 2 d t , Re ( z 1 ) > 0 ,   Re ( z 2 ) > 0 {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(z_{1})>0,\ {\textrm {Re}}(z_{2})>0\!}
B ( z 1 , z 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( n − z 2 n ) z 1 + n , {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-z_{2} \choose n}{z_{1}+n}},\!}
B ( z 1 , z 2 ) = z 1 + z 2 z 1 z 2 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z 1 z 2 n ( z 1 + z 2 + n ) ) − 1 , {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {z_{1}+z_{2}}{z_{1}z_{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {z_{1}z_{2}}{n(z_{1}+z_{2}+n)}}\right)^{-1},\!}
B ( z 1 , z 2 ) = 1 z 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n + 1 n ! ( z 1 + n ) {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\dfrac {1}{z_{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {z_{2}^{n+1}}{n!(z_{1}+n)}}\!}
B ( z 1 , z 2 ) ⋅ B ( z 1 + z 2 , 1 − z 2 ) = π z 1 sin ⁡ ( π z 2 ) . {\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1}+z_{2},1-z_{2})={\dfrac {\pi }{z_{1}\sin(\pi z_{2})}}.\!}

Burada Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} faktöriyelin gerçel ve karmaşık sayılara genelleştirildiği gama fonksiyonu'dur.

Özellikle eşitlikteki ikinci gösterimle beraber elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela bir bölü ikinin çıktıları,

Γ ( 1 / 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }},}
B ( 1 / 2 ) = π , {\displaystyle \mathrm {B} (1/2)=\pi ,}

kartezyen koordinatlardaki n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir.

Gama fonksiyonu pozitif tam sayılarda sıradan faktöriyele dönüşür:

n ∈ Z + ⇒ Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! . {\displaystyle n\in \mathbb {Z^{+}} \Rightarrow \Gamma (n)=(n-1)!.}

Dolayısıyla binomiyel katsayılar beta fonksiyonu aracılığıyla da genelleştirilebilir:

( n k ) = 1 ( n + 1 ) B ( n − k + 1 , k + 1 ) . {\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}

Ayrıca her n {\displaystyle n} tam sayısı için, B {\displaystyle \mathrm {B} \,} 'nin k {\displaystyle k} sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli:

( n k ) = ( − 1 ) n n ! sin ⁡ ( π k ) π ∏ i = 0 n ( k − i ) . {\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{n}n!{\cfrac {\sin(\pi k)}{\pi \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

Γ ( x ) Γ ( y ) = ∫ 0 ∞   e − u u x − 1 d u ∫ 0 ∞   e − v v y − 1 d v . {\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv.\!}

Şimdi, u ≡ a 2 {\displaystyle u\equiv a^{2}} , v ≡ b 2 {\displaystyle v\equiv b^{2}} yazalım, böylece

Γ ( x ) Γ ( y ) = 4 ∫ 0 ∞   e − a 2 a 2 x − 1 d a ∫ 0 ∞   e − b 2 b 2 y − 1 d b = ∫ − ∞ ∞   ∫ − ∞ ∞   e − ( a 2 + b 2 ) | a | 2 x − 1 | b | 2 y − 1 d a d b . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,db\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,da\,db.\end{aligned}}\!}

Kutupsal koordinatlara dönüşüm, a = r cos ⁡ θ {\displaystyle a=r\cos \theta } , b = r sin ⁡ θ {\displaystyle b=r\sin \theta } :

Γ ( x ) Γ ( y ) = ∫ 0 2 π   ∫ 0 ∞   e − r 2 | r cos ⁡ θ | 2 x − 1 | r sin ⁡ θ | 2 y − 1 r d r d θ = ∫ 0 ∞   e − r 2 r 2 x + 2 y − 2 r d r ∫ 0 2 π   | ( cos ⁡ θ ) 2 x − 1 ( sin ⁡ θ ) 2 y − 1 | d θ = 1 2 ∫ 0 ∞   e − r 2 r 2 ( x + y − 1 ) d ( r 2 ) 4 ∫ 0 π / 2   ( cos ⁡ θ ) 2 x − 1 ( sin ⁡ θ ) 2 y − 1 d θ = Γ ( x + y ) 2 ∫ 0 π / 2   ( cos ⁡ θ ) 2 x − 1 ( sin ⁡ θ ) 2 y − 1 d θ = Γ ( x + y ) B ( x , y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,dr\,d\theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,dr\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,d\theta \\&{}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,d(r^{2})4\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)2\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}

Dolayısıyla, beta fonksiyonunun gama fonksiyonuyla ilişkisi:

B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

Diğer bir türetim, bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa

f ( u ) := e − u u x − 1 1 R + {\displaystyle f(u):=e^{-u}u^{x-1}1_{\mathbb {R} _{+}}} ve g ( u ) := e − u u y − 1 1 R + {\displaystyle g(u):=e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}}} , sonuç kolayca:
Γ ( x ) Γ ( y ) = ( ∫ R f ( u ) d u ) ( ∫ R g ( u ) d u ) = ∫ R ( f ∗ g ) ( u ) d u = B ( x , y ) Γ ( x + y ) {\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\left(\int _{\mathbb {R} }f(u)du\right)\left(\int _{\mathbb {R} }g(u)du\right)=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y)} .

Türevi

Beta fonksiyonunun z1 cinsinden parçalı türevi:

∂ ∂ z 1 B ( z 1 , z 2 ) = B ( z 1 , z 2 ) ( Γ ′ ( z 1 ) Γ ( z 1 ) − Γ ′ ( z 1 + z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) ) = B ( z 1 , z 2 ) ( ψ ( z 1 ) − ψ ( z 1 + z 2 ) ) . {\displaystyle {\partial \over \partial z_{1}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\Gamma '(z_{1}) \over \Gamma (z_{1})}-{\Gamma '(z_{1}+z_{2}) \over \Gamma (z_{1}+z_{2})}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})(\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2})).}

Burada ψ ( z ) {\displaystyle \psi (z)} , gama fonksiyonunun logaritmik türevi olan digama fonksiyonudur:

ψ ( z ) = d d z ln ⁡ Γ ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) . {\displaystyle \psi (z)={d \over dz}\ln \Gamma (z)={\Gamma '(z) \over \Gamma (z)}.}

Fonksiyonun girdi bazında simetrik olması dolayısıyla z2 cinsinden alacağımız parçalı türev önceki sonuçla direktmen bağlantılıdır:

∂ ∂ z 2 B ( z 1 , z 2 ) = ∂ ∂ z 2 B ( z 2 , z 1 ) {\displaystyle {\partial \over \partial z_{2}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\partial \over \partial z_{2}}\mathrm {B} (z_{2},z_{1})}

Dolayısıyla yapmamız gereken tek şey z1 cinsinden aldığımız parçalı türevde z1 ile z2 değişkenlerinin yerlerini değiştirmektir:

z 1 → z 2 , z 2 → z 1 {\displaystyle z_{1}\rightarrow z_{2},z_{2}\rightarrow z_{1}}

∴ {\displaystyle \therefore }

∂ ∂ z 2 B ( z 1 , z 2 ) = B ( z 1 , z 2 ) ( Γ ′ ( z 2 ) Γ ( z 2 ) − Γ ′ ( z 1 + z 2 ) Γ ( z 1 + z 2 ) ) = B ( z 1 , z 2 ) ( ψ ( z 2 ) − ψ ( z 1 + z 2 ) ) . {\displaystyle {\partial \over \partial z_{2}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\Gamma '(z_{2}) \over \Gamma (z_{2})}-{\Gamma '(z_{1}+z_{2}) \over \Gamma (z_{1}+z_{2})}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left(\psi (z_{2})-\psi (z_{1}+z_{2})\right).}

İntegralleri

Nörlund-Rice integrali beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir.

Yaklaşıklıklar

Stirling yaklaşıklığı kullanılarak beta fonksiyonu için yeni yaklaşıklıklar türetilebilir.

x ve y görece büyük gerçek sayılar ise,

B ( x , y ) ∼ 2 π x x − 1 2 y y − 1 2 ( x + y ) x + y − 1 2 {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}

diğer bir yaklaşık gösterim, x'in görece büyük ve y'nin sabit olması durumunda,

B ( x , y ) ∼ Γ ( y ) x − y . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}

Tamamlanmamış beta fonksiyonu

Burada tamamlanmamış ifadesi integralin bir sınırının "kapalı" (alt sınır, 0), diğer sınırının ise "açık" olduğunu (üst sınır = x) belirtir. Beta fonksiyonunun daha genel bir versiyonu tamamlanmamış beta fonksiyonu'dur:

B ( x ; a , b ) = ∫ 0 x t a − 1 ( 1 − t ) b − 1 d t . {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}

x'in bire eşit olduğu durumda tamamlanmamış beta fonksiyonu standart beta fonksiyonuna dönüşür. Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekliyle tamamlanmamış gama fonksiyonu arasında da vardır.

Düzenlenmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu), tamamlanmamış beta fonksiyonu ve standart beta fonksiyonunun aşağıdaki ilişkisiyle oluşur:

I x ( a , b ) = B ( x ; a , b ) B ( a , b ) . {\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}

a ve b tam sayı değerleri için bilinen integral dışında (parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

I x ( a , b ) = ∑ j = a a + b − 1 ( a + b − 1 ) ! j ! ( a + b − 1 − j ) ! x j ( 1 − x ) a + b − 1 − j . {\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}

Binom dağılımı'nın, bir rastgele değişkeni X, "başarı olasılığı" p, örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede düzenlenmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu şu şekilde kullanılabilir:

F ( k ; n , p ) = Pr ( X ≤ k ) = I 1 − p ( n − k , k + 1 ) . {\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1).}

Özellikler

I 0 ( a , b ) = 0 {\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}
I 1 ( a , b ) = 1 {\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}
I x ( a , b ) = 1 − I 1 − x ( b , a ) {\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}

(Listede diğer birçok özellik olabilir.)

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Dış bağlantılar