Diofantos denklemi diğer bir adıyla Diophantine denklemleri adını M.S. 3. yüzyılda yaşadığı tahmin edilen Antik Yunan matematikçilerden Diofantos'dan alan değişkenleri ve katsayıları tam sayılar olan denklemlerdir. Diofantos Arithmetika adlı sadece 6 cildi günümüze ulaşan çalışmasında 130 denkleme (bugün Diofantos denklemleri olarak adlandırılan) ve bunların çözümlerine yer vermiştir.
Doğrusal denklemler
Basit doğrusal Diofantos denklemine örnekler aşağıdaki gibi verilebilinir;
- Örnek 1.1
- x + y = 1 {\displaystyle x+y=1}
Bu eşitlikte her bir x değeri için tek bir y çözümü vardır ( y = 1 − x {\displaystyle y=1-x} ). Bu eşitliğin çözüm kümesi;
- (X, 1 − X) şeklindedir her X ∈ Z için
- Örnek 1.2
- x + 2 y = 1 {\displaystyle x+2y=1}
Bu defa x'in herhangi bir tam sayı olamayacağı fakat sadece tek sayı olabileceği görülüyor ( x = 1 − 2 y {\displaystyle x=1-2y} ). Bu eşitliğin çözüm kümesi;
- (1-2y, y) şeklindedir her y ∈ Z için
- Örnek 1.3
- 3 x + 6 y = 1 {\displaystyle 3x+6y=1}
Bu eşitliğin çözüm kümesi boş kümedir. Her x {\displaystyle x} ve y {\displaystyle y} tam sayı seçimi için bu denklemin sol tarafı her zaman 3'ün katı olduğu halde sağ tarafı hiçbir zaman 3'ün katı olamaz.
- Genel doğrusal Diofantos denklemi
-
a
x
+
b
y
=
c
{\displaystyle ax+by=c}
Şeklindedir. Burada a, b ve c tam katsayılar x {\displaystyle x} ve y {\displaystyle y} tam sayı değişkenlerdir.
Diğer Örnekler
Pisagor Denklemi
Genel bir örnek Pisagor denklemidir (Bakınız; Pisagor teoremi )
- Örnek 2.1.1
-
x
2
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\,}
Burada x , y , z {\displaystyle x,y,z} tam sayıları dik üçgenin kenar uzunluklarını da temsil ettiği için Pisagor üçlemi olarak da adlandırılır.
Fermat Denklemi
(Bakınız; Fermat'nın son teoremi )
- Örnek 2.2.1
-
x
n
+
y
n
=
z
n
{\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}\,}
, n > 2
Bu eşitliğin x , y , z {\displaystyle x,y,z} tam sayı değişkenlerinden en az birinin 0 olması durumu dışında çözümü yoktur.
Pell'in Denklemi
Bakınız Pell denklemi
Bu denklem adını 17. yüzyıl İngiliz Matematikçi John Pell'den alır.
- Örnek 2.3.1
- x 2 − n y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1\,} , n>0 ve n tam sayısı tam kare değildir
Kaynakça
- Özel
- ^ Quick, Martyn. "Linear Diaphantine" (PDF) (İngilizce). University of St Andrews. 25 Kasım 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Ekim 2012.
- ^ Kirschenbaum, Marni. "Alexandrian Algebra according to Diophantus". Ruthgers. 21 Mart 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Ekim 2012.
- Genel
- "Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation2ndPowers.html 11 Mayıs 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. adresinden
- "Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://planetmath.org/encyclopedia/DiophantineEquation.html 8 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. adresinden
- "Diophantine Equation". 30 Ekim 2012 tarihinde http://www.math.umass.edu/~gunnells/talks/abc.pdf 15 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. adresinden