Dirac delta fonksiyonu
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Dirac delta fonksiyonu gösterimi
Yığmalı dağılım fonksiyonu
Heaviside basamak fonksiyonu gösterimi
Yarı-maksimum konvensiyonu, burada x0 = 0
Parametreler x 0 {\displaystyle x_{0}\,} konum (reel)
Destek x ∈ [ x 0 ; x 0 ] {\displaystyle x\in [x_{0};x_{0}]}
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (OYF) δ ( x − x 0 ) {\displaystyle \delta (x-x_{0})\,}
Birikimli dağılım fonksiyonu (YDF) H ( x − x 0 ) {\displaystyle H(x-x_{0})\,}    (Heaviside)
Ortalama x 0 {\displaystyle x_{0}\,}
Medyan x 0 {\displaystyle x_{0}\,}
Mod x 0 {\displaystyle x_{0}\,}
Varyans 0 {\displaystyle 0\,}
Çarpıklık (tanımlanmamış)
Fazladan basıklık (tanımlamamış)
Entropi − ∞ {\displaystyle -\infty }
Moment üreten fonksiyon (mf) e t x 0 {\displaystyle e^{tx_{0}}}
Karakteristik fonksiyon e i t x 0 {\displaystyle e^{itx_{0}}}

Adını Paul Dirac' tan alan Dirac delta fonksiyonu tek boyutta

δ ( x − x 0 ) = { ∞ , x = x 0 0 , x ≠ x 0 {\displaystyle \delta (x-x_{0})={\begin{cases}\infty ,&x=x_{0}\\0,&x\neq x_{0}\end{cases}}}

şeklinde tanımlıdır. Bu gösterime uyacak bütün matematik temsillerine delta fonksiyonu veya delta fonksiyonunun temsili denir. Delta fonksiyonu n boyuta genellenebilir. Gösterimi ise δ n ( x → − x → 0 ) {\displaystyle \delta ^{n}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})} şeklinde olur. Burada x ve x0 n boyutlu vektörlerdir. Diğer taraftan n boyutta delta fonksiyonu her bir boyuttaki delta fonksiyonlarının çarpımı şeklinde de yazılabilir. Örneğin 3 boyutta δ 3 ( x → − x → 0 ) = δ ( x − x 0 ) δ ( y − y 0 ) δ ( z − z 0 ) {\displaystyle \delta ^{3}({\vec {x}}-{\vec {x}}_{0})=\delta (x-x_{0})\delta (y-y_{0})\delta (z-z_{0})}

Dirac-Delta fonksiyonu basamak fonksiyonunun türevidir. δ ( x ) = d θ ( x ) d x {\displaystyle \delta (x)={\frac {d\theta (x)}{dx}}}

Delta fonksiyonunun bazı özellikleri:

  • ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x − x 0 ) d x = f ( x 0 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})dx=f(x_{0})}
  • δ ( k x ) = 1 | k | δ ( x ) {\displaystyle \delta (kx)={\frac {1}{|k|}}\delta (x)}
  • δ ( u ( x ) ) = ∑ i δ ( x − x i ) | u ′ ( x i ) | {\displaystyle \delta (u(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|u'(x_{i})|}}} burada x i {\displaystyle x_{i}} , u(x) fonksiyonunun kökleridir.

Bazı delta temsilleri:

  • δ ( x ) = lim ϵ → 0 ϵ x 2 + ϵ 2 {\displaystyle \delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}}
  • δ ( x ) = lim σ → 0 1 2 σ e − x 2 4 σ 2 {\displaystyle \delta (x)=\lim _{\sigma \to 0}{\frac {1}{2\sigma }}e^{-{\frac {x^{2}}{4\sigma ^{2}}}}}
  • δ ( x ) = lim ϵ → 0 1 x sin ⁡ ( x ϵ ) {\displaystyle \delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{x}}\sin \left({\frac {x}{\epsilon }}\right)}

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

Çözümler
UygulamalarMatematikçiler