Euler çarpımı

Euler çarpımı, matematikte özellikle sayılar teorisinde ve analiz dalında kullanılan bir kavramdır.Bu çarpım,asal sayılar kümesi üzerinde indekslenmiş sonsuz bir çarpım kullanılarak bir Dirichlet serisinin gösterimi hakkında olmakla beraber Riemann zeta fonksiyonunun Dirichlet serisine göre sonsuz çarpımı araştıran Leonhard Euler'den adını almıştır.

f {\displaystyle f} ,pozitif tam sayılarda tanımlı olan ve aralarında asal a {\displaystyle a} ve b {\displaystyle b} için f ( a ) f ( b ) = f ( a b ) {\displaystyle f(a)f(b)=f(ab)} denkliğini sağlayan bir fonksiyon ve F ( s ) := ∑ n = 1 ∞ f ( n ) n s {\displaystyle \textstyle F(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}} bir Dirichlet serisi olsun. Bu seri,karmaşık bir sayı s {\displaystyle s} için mutlak yakınsak ise, o zaman F ( s ) = ∏ p   a s a l ∑ k = 0 ∞ f ( p k ) p k s {\displaystyle F(s)=\prod _{p\ {\rm {asal}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}} olur.Eğer f {\displaystyle f} her pozitif tam sayı ikilisi için çarpım koşulunu sağlarsa o zaman eşitlik ∏ p  asal 1 1 − f ( p ) p − s {\displaystyle \prod _{p{\text{ asal}}}{\frac {1}{1-f(p)p^{-s}}}} formuna indirgenebilir.Tüm asal sayılar üzerindeki bu sonsuz çarpımlara Euler çarpımı denir. Bu çarpımların değeri, lim N → ∞ P N {\displaystyle \textstyle \lim _{N\to \infty }P_{N}} halinde limit olarak tanımlanır,ki burada P N {\displaystyle P_{N}} , yalnızca N sınırının altındaki asal sayılara çarpım genişletilerek elde edilir.

Euler çarpımının geçerliliğini destekleyen çeşitli kanıtlar vardır.

Öncelikle, F ( s ) {\displaystyle F(s)} serisinin mutlak yakınsak olmasından mütevellit ayrıca her ∑ k = 0 ∞ f ( p k ) p k s {\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}} faktörü de kesinlikle yakınsar. Bundan dolayı, her N {\displaystyle N} için kısmi çarpım F N ( s ) = ∏ p ≤ N p   asal sayı ∑ k = 0 ∞ f ( p k ) p k s {\displaystyle F_{N}(s)=\prod _{p\leq N \atop p\ {\text{asal sayı}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}} olur.Bu ,Cauchy çarpım formülü ve asal sayıların artan dizisiyle hemen şunu gösterir: Eğer 2 = p 1 < p 2 < ⋯ < p j ≤ N < p j + 1 {\displaystyle 2=p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{j}\leq N<p_{j+1}} ise ikinci adımda f {\displaystyle f} fonksiyonunun çarpımsallığı kullanılmak üzere F N ( s ) = ∑ k 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ k j = 0 ∞ f ( p 1 k 1 ) ⋯ f ( p j k j ) ( p 1 k 1 ⋯ p j k j ) s = ∑ k 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ k j = 0 ∞ f ( p 1 k 1 ⋯ p j k j ) ( p 1 k 1 ⋯ p j k j ) s . {\displaystyle F_{N}(s)=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}})\cdots f(p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}.} elde edilir.Bu durum F N ( s ) = ∑ n ≤ N f ( n ) n s + ∑ n > N ′ f ( n ) n s {\displaystyle F_{N}(s)=\sum _{n\leq N}{\frac {f(n)}{n^{s}}}+\sum _{n>N}{'}{\frac {f(n)}{n^{s}}}} formülünü doğru kılar (ikinci toplamdaki çizgi,sadece tüm asal çarpanları ≤ N {\displaystyle \leq N} olan n > N {\displaystyle n>N} sayılarının sayılacağını belirtir).Bu yüzden her ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} için | F ( s ) − F N ( s ) | ≤ ∑ n = N + 1 ∞ | f ( n ) n s | < ε {\displaystyle |F(s)-F_{N}(s)|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|<\varepsilon } olan bir N > 0 {\displaystyle N>0} vardır.Böylece kısmi çarpımların dizisi F N ( s ) {\displaystyle F_{N}(s)} , her bir F ( s ) {\displaystyle F(s)} mutlak yakınsama alanındaki s {\displaystyle s} için yakınsar ve teorem gösterilir.

Her n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } için f ( n ) = 1 {\displaystyle f(n)=1} durumunda f {\displaystyle f} bariz bir şekilde tamamen çarpımsaldır. Bu nedenle her Re ⁡ ( s ) > 1 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1} için ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ p   p r i m 1 1 − 1 p s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}} elde edilir.Bu ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} fonksiyonu Riemann zeta fonksiyonu olarak da bilinir.

Bu türetme yönteminin ardındaki temel fikir, Leonhard Euler zamanında onun tarafından tarafından zaten kullanılmıştı. 1 ∈ M {\displaystyle 1\in M} Ve p M ⊂ M {\displaystyle pM\subset M} olacak şekilde M ⊂ N {\displaystyle M\subset \mathbb {N} } bir alt küme ve p {\displaystyle p} bir asal sayı ele alınsın. Bu durumda m ∈ M {\displaystyle m\in M} olması p m ∈ M {\displaystyle pm\in M} sonucunu doğurur. O halde, genel olarak Re ⁡ ( s ) > 1 {\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1} ise ( 1 − 1 p s ) ∑ m ∈ M 1 m s = ∑ m ∈ M 1 m s − ∑ m ∈ M 1 ( p m ) s = ∑ m ∈ M ∖ p M 1 m s {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}-\sum _{m\in M}{\frac {1}{(pm)^{s}}}=\sum _{m\in M\setminus pM}{\frac {1}{m^{s}}}} denklem zinciri geçerlidir.Şimdi

p n {\displaystyle p_{n}} asal sayıların artan sıradaki dizisi (örnek olarak p 1 = 2 , p 2 = 3 , p 3 = 5 , ⋯ {\displaystyle p_{1}=2,p_{2}=3,p_{3}=5,\cdots } ) ve M k {\displaystyle M_{k}} , p 1 , … , p k {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}} asallarına bölünemeyen doğal sayıların kümesi olsun (örneğin M 1 = { 1 , 3 , 5 , 7 , … } {\displaystyle M_{1}=\{1,3,5,7,\dots \}} ). Ayrıca, M 0 := N {\displaystyle M_{0}:=\mathbb {N} } olacak şekilde tanımlansın. O halde sabitlenmiş bir k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } için her bir M k {\displaystyle M_{k}} sonraki asal sayı p k + 1 {\displaystyle p_{k+1}} ile yukarıdaki özelliği sağlar ve M k + 1 = M k ∖ p k + 1 M k {\displaystyle M_{k+1}=M_{k}\setminus p_{k+1}M_{k}} geçerlidir. Bu yüzden ( 1 − 1 p k + 1 s ) ∑ m ∈ M k 1 m s = ∑ m ∈ M k + 1 1 m s {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p_{k+1}^{s}}}\right)\sum _{m\in M_{k}}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}} ve böylece tümevarım yoluyla ( 1 − 1 2 s ) ( 1 − 1 3 s ) ⋯ ( 1 − 1 p k s ) ζ ( s ) = ∑ m ∈ M k + 1 1 m s {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}} elde edilir.Her iki yönden de limit alındığında,1 herhangi bir asal sayı tarafından bölünemeyen yegane doğal sayı olduğu için, sonuç olarak

lim k → ∞ ( 1 − 1 2 s ) ( 1 − 1 3 s ) ⋯ ( 1 − 1 p k s ) ζ ( s ) = lim k → ∞ ∑ m ∈ M k + 1 1 m s = 1 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\lim _{k\to \infty }\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}=1} eşitliği bulunur.

• Eric W. Weisstein, Euler Product (MathWorld)
• "Euler_product", Matematik Ansiklopedisi, Avrupa Matematik Topluluğu, 2001