Karmaşık eşlenik

Matematikte, bir karmaşık sayının karmaşık eşleniği, büyüklük olarak eşit ancak işaret olarak zıt bir sanal kısma ve eşit bir gerçel kısma sahip olan bir karmaşık sayıdır. Yani, a {\displaystyle a} ve b {\displaystyle b} gerçel sayılar ise, o zaman a + i b {\displaystyle a+ib} 'nin karmaşık eşleniği a − i b {\displaystyle a-ib} olur.

Bir karmaşık sayının eşleniği genelde bu karmaşık sayının üzerine sayıyı kaplayacak şekilde çekilen bir çizgi ile gösterilir. Yani, karmaşık sayı z = a + i b {\displaystyle z=a+ib} ise, bu sayının eşleniği z ¯ = a + i b ¯ = a − i b {\displaystyle {\overline {z}}={\overline {a+ib}}=a-ib} olur. Matematikte nadir de olsa z ∗ {\displaystyle z^{*}} kullanımı da mevcuttur. Ancak, bu tür bir gösterimin bir matrisin eşlenik devrik matrisiyle karıştırılması ihtimali artacağından bu gösterim pek tercih edilmez.

Kutupsal koordinat sisteminde, eğer r {\displaystyle r} ve φ {\displaystyle \varphi } gerçel sayılarsa, o zaman r e i φ {\displaystyle re^{i\varphi }} sayısının eşleniği r e − i φ {\displaystyle re^{-i\varphi }} sayısıdır. Bunu Euler formülü aracılığıyla göstermek basittir.

• Bir karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı gerçel bir sayıdır; yani, z = a + i b {\displaystyle z=a+ib} ya da polar koordinat gösteriminde z = r e i φ {\displaystyle z=re^{i\varphi }} ise o zaman z z ¯ = a 2 + b 2 = r 2 {\displaystyle z{\overline {z}}=a^{2}+b^{2}=r^{2}} olur.
• Herhangi iki karmaşık sayı için, eşlenik alma işleminin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme üzerine dağılmalıdır. Herhangi iki karmaşık sayı z {\displaystyle z} ve w {\displaystyle w} olsun. O zaman,

z + w ¯ = z ¯ + w ¯ , {\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}},}

z − w ¯ = z ¯ − w ¯ , {\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}},}

z w ¯ = z ¯ w ¯ , {\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}},}

( z w ) ¯ = z ¯ w ¯ , ( eğer  w ≠ 0 {\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad ({\text{eğer }}w\neq 0} ise)

• Bir karmaşık sayının eşleniğinin kendisine eşit olması için bu sayının sanal kısmının sıfıra eşit olması lazımdır. Diğer deyişle, bu karmaşık sayı aslında bir gerçel sayıdır.
• Bir karmaşık sayının mutlak değeri eşlenik altında değişmez; yani, | z ¯ | = | z | . {\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}
• Eşlenik alma işlemi bir involüsyondur. Yani, karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği yine karmaşık sayıyı verir.
• Karmaşık bir sayının mutlak değeri karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı üzerinden tanımlabilir: z z ¯ = | z | 2 {\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}} . O zaman, her z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} için z − 1 = z ¯ | z | 2 {\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}} olur ki bu da bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini hesaplamayı kolaylaştırır.
• Karmaşık sayılar üzerinde
  • eşlenik alma işlemi ile tam sayı üssü alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, her n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } için z n ¯ = ( z ¯ ) n {\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}} sağlanır.
  • eşlenik alma işlemi ile üstel alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, her n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } için e z ¯ = e z ¯ {\displaystyle e^{\overline {z}}={\overline {e^{z}}}} sağlanır.
  • eşlenik alma işlemi ile logaritma alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, eğer z {\displaystyle z} logaritmanın tanım kümesi içerisindeyse ln ⁡ ( z ¯ ) = ln ⁡ ( z ) ¯ {\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}} sağlanır.
• Tek karmaşık değişkenli ver gerçel sayı katsayılı polinomların köklerinden biri karmaşık sayı ise, o zaman bu kökün karmaşık eşleniği de bu polinomun yine köküdür.

Bir karmaşık değişken z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} veya z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} halinde verilmiş olsun. O zaman eşleniği kullanarak, z {\displaystyle z} -değişkeninin gerçel ve sanal kısımları hesaplanabilir ve basi:

• Gerçel kısım : x = Re ⁡ ( z ) = z + z ¯ 2 {\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}
• Sanal kısım: y = Im ⁡ ( z ) = z − z ¯ 2 i {\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}
• Mutlak değer: r = | z | = z z ¯ {\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}
• Argüman: e i θ = e i arg ⁡ z = z z ¯ , {\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},} böylece θ = arg ⁡ z = 1 i ln ⁡ z z ¯ = ln ⁡ z − ln ⁡ z ¯ 2 i {\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}} .

Dahası, z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} karmaşık düzlemdeki doğruları tanımlamak için de kullanılabilir. Mesela, { z : z w ¯ + w ¯ r = 0 } {\displaystyle \left\{z:z{\overline {w}}+{\overline {w}}r=0\right\}} kümesi orijinden geçen ve w {\displaystyle {w}} 'ya dik olan bir doğruyu verir. Çünkü, z ⋅ r ¯ {\displaystyle z\cdot {\overline {r}}} ifadesinin gerçel kısmının sıfıra eşit olması ancak when the cosine of the angle between z {\displaystyle z} ve w {\displaystyle {w}} arasındaki açının kosinüsünün sıfıra eşit olmasıyla mümkündür. benzer bir şekilde, sabitlenmiş biri birim karmaşık sayısı u = e i b , {\displaystyle u=e^{ib},} için z − z 0 z ¯ − z 0 ¯ = u 2 {\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}} ifadesi de 0 ve u {\displaystyle u} 'dan geçen doğruya paralel olan ve z 0 {\displaystyle z_{0}} 'dan geçen bir doğru verir.

1. ^ Genelde, karmaşık logaritmanın tanım kümesi pozitif olmayan gerçel sayıları içermez. Ancak, lkarmaşık fonksiyonları orijinden başlayıp sonsuza doğru giden bir doğruyu tanım kümesinden hariç tutabilecek şekilde tanımlamak mümkündür.