Koherent demet

Matematik'te, özellikle cebirsel geometri ve karmaşık manifolt kuramında, koherent demetler, altta yatan uzayın geometrik özellikleriyle yakından bağlantılı bir demet sınıfıdır. Koherent demetlerin tanımı, bu geometrik bilgiyi kodlayan bir halka demetine atfen verilir.

Koherent demetler, vektör demetlerinin bir genelleştirilmesi olarak görülebilir. Vektör demetlerinin aksine bir Abel kategorisi oluştururlar; dolayısıyla çekirdek, görüntü ve eşçekirdek alma gibi işlemlere göre kapalıdırlar. Yarı koherent demetler ise koherent demetlerin bir genelleştirilmesidir ve sonsuz ranklı yerel serbest demetleri kapsar.

Koherent demet kohomolojisi, özellikle verilen bir koherent demetin kesitlerini incelemek için güçlü bir tekniktir.

Bir halkalı uzay ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} üzerindeki bir yarı koherent demet, yerel bir sunumu olan, yani X {\displaystyle X} 'in her noktasında, I {\displaystyle I} ve J {\displaystyle J} (sonlu ya da sonsuz) kümeleri için bir

O X ⊕ I | U → O X ⊕ J | U → F | U → 0 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}

tam dizisinin bulunduğu bir açık komşuluk U {\displaystyle U} bulunan, bir O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modül demeti F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 'dir.

Bir halkalı uzay ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} üzerindeki bir koherent demet, aşağıdaki iki özelliği sağlayan bir O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modül demeti F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 'dir:

1. F {\displaystyle {\mathcal {F}}} , O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} üzerinde sonlu tiptir; yani X {\displaystyle X} 'in her noktasında, bir doğal sayı n {\displaystyle n} için örten (sürjektif) bir O X n | U → F | U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}} morfizminin bulunduğu bir U {\displaystyle U} açık komşuluğu vardır;
2. her açık U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} kümesi, her doğal sayı n {\displaystyle n} ve O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modüllerinin her φ : O X n | U → F | U {\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}} morfizmi için, φ {\displaystyle \varphi } 'nin çekirdeği sonlu tiptir.

(Yarı-)koherent demetler arasındaki morfizmler, O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modül demetlerinin morfizmleriyle aynıdır.

X {\displaystyle X} bir şema olduğunda, yukarıdaki genel tanımlar daha açık tanımlara denktir. Bir O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modül demeti F {\displaystyle {\mathcal {F}}} , her açık afin altşema U = Spec ⁡ A {\displaystyle U=\operatorname {Spec} A} üzerinde F | U {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}} kısıtlamasının, A {\displaystyle A} üzerindeki M = Γ ( U , F ) {\displaystyle M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})} modülüne ilişkin M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} demetine izomorf olması durumunda ve yalnız bu durumda yarı koherenttir. X {\displaystyle X} yerel Noether bir şema olduğunda, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} , yarı koherent olması ve yukarıdaki M {\displaystyle M} modüllerinin sonlu üretilmiş alınabilmesi durumunda ve yalnız bu durumda koherenttir.

Bir afin şema U = Spec ⁡ A {\displaystyle U=\operatorname {Spec} A} üzerinde, bir M {\displaystyle M} modülünü ilişkin M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} demetine gönderen, A {\displaystyle A} -modüllerinden yarı koherent demetlerine doğru bir kategori denkliği vardır. Ters denklik, U {\displaystyle U} üzerindeki bir yarı koherent demet F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 'yi, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 'nin global kesitlerinin A {\displaystyle A} -modülü F ( U ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(U)} 'ye götürür.

Bir şema üzerindeki yarı koherent demetlerin birkaç başka karakterizasyonu şöyledir.

Teorem. X {\displaystyle X} bir şema ve F {\displaystyle {\mathcal {F}}} bunun üzerinde bir O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modülü olsun. O hâlde aşağıdakiler denktir:

• F {\displaystyle {\mathcal {F}}} yarı koherenttir.
• X {\displaystyle X} 'in her açık afin altşeması U {\displaystyle U} için F | U {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}} , bir O ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(U)} -modülü M {\displaystyle M} 'ye ilişkin M ~ {\displaystyle {\widetilde {M}}} demetine, bir O U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}} -modülü olarak izomorftur.
• X {\displaystyle X} 'in, örtünün her U α {\displaystyle U_{\alpha }} elemanı için F | U α {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U_{\alpha }}} kısıtlamasının bir O ( U α ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(U_{\alpha })} -modülüne ilişkin demete izomorf olduğu bir { U α } {\displaystyle \{U_{\alpha }\}} açık afin örtüsü vardır.
• X {\displaystyle X} 'in V ⊆ U {\displaystyle V\subseteq U} açık afin altşemalarının her çifti için doğal homomorfizm

  O ( V ) ⊗ O ( U ) F ( U ) ⟶ F ( V ) , f ⊗ s ⟼ f ⋅ s | V {\displaystyle {\mathcal {O}}(V)\otimes _{{\mathcal {O}}(U)}{\mathcal {F}}(U)\longrightarrow {\mathcal {F}}(V),\qquad f\otimes s\longmapsto f\cdot s|_{V}}

  bir izomorfizmdir.

• X {\displaystyle X} 'in her açık afin altşeması U = Spec ⁡ A {\displaystyle U=\operatorname {Spec} A} ve her f ∈ A {\displaystyle f\in A} için, f {\displaystyle f} 'nin sıfır olmadığı U {\displaystyle U} 'nun açık altşemasını U f {\displaystyle U_{f}} ile gösterirsek, doğal homomorfizm

  F ( U ) [ 1 f ] ⟶ F ( U f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\left[{\frac {1}{f}}\right]\longrightarrow {\mathcal {F}}(U_{f})}

  bir izomorfizmdir. Bu homomorfizm, yerelleştirmenin evrensel özelliğinden gelir.

Keyfî bir halkalı uzayda, yarı koherent demetler zorunlu olarak bir Abel kategorisi oluşturmaz. Öte yandan, herhangi bir şema üzerindeki yarı koherent demetler bir Abel kategorisi oluşturur ve bu bağlamda son derece yararlıdırlar.

Herhangi bir halkalı uzay X {\displaystyle X} üzerinde, koherent demetler, O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modüllerinin kategorisinin bir tam alt kategorisi olan bir Abel kategorisi oluşturur. (Benzer biçimde, herhangi bir A {\displaystyle A} halkası üzerindeki koherent modüllerin kategorisi, tüm A {\displaystyle A} -modüllerinin kategorisinin tam bir Abel altkategorisidir.) Dolayısıyla koherent demetler arasındaki herhangi bir dönüşümün çekirdeği, görüntüsü ve eşçekirdeği koherenttir. İki koherent demetin doğrudan toplamı koherenttir; daha genel olarak, iki koherent demetin bir genişlemesi olan her O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modülü koherenttir.

Bir koherent demetin sonlu tip olan bir altmodülü koherenttir. Bir koherent demet her zaman sonlu sunumlu bir O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modülüdür; bu, X {\displaystyle X} 'in her x {\displaystyle x} noktasının, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 'nin U {\displaystyle U} 'ya kısıtlaması F | U {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}} 'nun, bazı doğal sayılar n {\displaystyle n} ve m {\displaystyle m} için bir O X n | U → O X m | U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}} morfizminin eşçekirdeğine izomorf olduğu bir U {\displaystyle U} açık komşuluğu bulunduğu anlamına gelir. Tersine, O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} koherent ise, O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} üzerindeki her sonlu sunumlu demet koherenttir.

O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} halka demeti, kendisi üzerinde bir modül demeti olarak koherent sayılıyorsa koherent diye adlandırılır. Özel olarak, Oka koherans teoremi, bir karmaşık analitik uzay X {\displaystyle X} üzerindeki holomorf fonksiyonların demetinin koherent bir halka demeti olduğunu belirtir. Kanıtın ana kısmı X = C n {\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}} durumudur. Benzer biçimde, yerel Noether şeması X {\displaystyle X} üzerinde yapı demeti O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} koherent bir halka demetidir.

• Bir halkalı uzay X {\displaystyle X} üzerindeki bir O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modülü F {\displaystyle {\mathcal {F}}} , X {\displaystyle X} 'in her noktasında F | U {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}} kısıtlamasının O X | U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}} 'nun kopyalarının sonlu bir doğrudan toplamına izomorf olduğu bir U {\displaystyle U} açık komşuluğu varsa sonlu ranklı yerel serbest ya da bir vektör demeti diye adlandırılır. F {\displaystyle {\mathcal {F}}} , X {\displaystyle X} 'nin her noktası yakınında aynı n {\displaystyle n} rankında serbest ise, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} vektör demetinin rankı n {\displaystyle n} dir.

Bu demet-kuramsal anlamda bir X {\displaystyle X} şeması üzerindeki vektör demetleri, daha geometrik bir biçimde tanımlanan vektör demetlerine denktir; geometrik tanım, π : E → X {\displaystyle \pi :E\to X} morfizmi olan bir E {\displaystyle E} şeması, X {\displaystyle X} 'in açık U α {\displaystyle U_{\alpha }} kümeleriyle örtülmesi ve U α {\displaystyle U_{\alpha }} üzerinde π − 1 ( U α ) ≅ A n × U α {\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }} izomorfizmleriyle, U α ∩ U β {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }} kesişimi üzerindeki iki izomorfizmin doğrusal bir otomorfizme kadar farklı olmasıdır. (Benzer denklik karmaşık analitik uzaylar için de geçerlidir.) Örneğin, bu geometrik anlamda bir E {\displaystyle E} vektör demeti verildiğinde, karşılık gelen F {\displaystyle {\mathcal {F}}} demeti şöyle tanımlanır: X {\displaystyle X} 'in bir açık U {\displaystyle U} kümesi üzerinde, O ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(U)} -modülü F ( U ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(U)} , π − 1 ( U ) → U {\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U} morfizminin kesitlerinin kümesidir. Vektör demetlerinin demet-kuramsal yorumunun avantajı, vektör demetlerinin (yerel Noether bir şema üzerinde) koherent demetlerin Abel kategorisine dahil olmasıdır.

• Yerel serbest demetler standart O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modül işlemleriyle donatılmıştır, ancak bu işlemler geriye yine yerel serbest demetler verir.

• X = Spec ⁡ ( R ) {\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)} ve R {\displaystyle R} bir Noether halkası olsun. O hâlde X {\displaystyle X} üzerindeki vektör demetleri, tam olarak, R {\displaystyle R} üzerindeki sonlu üretilmiş projektif modüllere ya da (denk olarak) R {\displaystyle R} üzerindeki sonlu üretilmiş düz modüllere ilişkin demetlerdir.
• X = Proj ⁡ ( R ) {\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)} , R {\displaystyle R} bir Noether N {\displaystyle \mathbb {N} } -dereceli halka, Noether bir R 0 {\displaystyle R_{0}} halkası üzerinde bir projektif şema olsun. O hâlde her Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -dereceli R {\displaystyle R} -modülü M {\displaystyle M} , X {\displaystyle X} üzerinde, F | { f ≠ 0 } {\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}} kısıtlamasının R [ f − 1 ] 0 {\displaystyle R[f^{-1}]_{0}} -modülü M [ f − 1 ] 0 {\displaystyle M[f^{-1}]_{0}} 'e ilişkin demet olduğu (burada f {\displaystyle f} , R {\displaystyle R} 'nin pozitif dereceli bir homojen elemanıdır ve { f ≠ 0 } = Spec ⁡ R [ f − 1 ] 0 {\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}} , f {\displaystyle f} 'nin sıfırlanmadığı yerdir), bir yarı koherent demet F {\displaystyle {\mathcal {F}}} belirler.
• Örneğin, her n {\displaystyle n} tam sayısı için R ( n ) l = R n + l {\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}} ile verilen dereceli R {\displaystyle R} -modülünü R ( n ) {\displaystyle R(n)} ile gösterelim. O hâlde her R ( n ) {\displaystyle R(n)} , X {\displaystyle X} üzerinde yarı koherent O X ( n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)} demetini belirler. Eğer R {\displaystyle R} , R 0 {\displaystyle R_{0}} -cebiri olarak R 1 {\displaystyle R_{1}} tarafından üretiliyorsa, O X ( n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)} , X {\displaystyle X} üzerinde bir doğru demetidir (tersinir demet) ve O X ( n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)} , O X ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)} 'in n {\displaystyle n} -inci tensör kuvvetidir. Özel olarak, O P n ( − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)} , projektif n {\displaystyle n} -uzayı üzerindeki totolojik doğru demeti diye adlandırılır.
• Vektör demeti olmayan bir koherent demetin basit bir örneği, P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} üzerinde şu dizinin eşçekirdeğiyle verilir:

O ( 1 ) → ⋅ ( x 2 − y z , y 3 + x y 2 − x y z ) O ( 3 ) ⊕ O ( 4 ) → E → 0 {\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}

sebebi şudur: E {\displaystyle {\mathcal {E}}} , iki polinomun sıfırlanma yerine kısıtlandığında iki boyutlu liflere, başka yerlerde ise tek boyutlu liflere sahiptir.

• İdeal demetleri: Z {\displaystyle Z} , yerel Noether bir X {\displaystyle X} şemasının kapalı bir altşeması ise, Z {\displaystyle Z} üzerinde sıfırlanan tüm regüler fonksiyonların I Z / X {\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}} demeti koherenttir. Benzer biçimde, Z {\displaystyle Z} , karmaşık analitik bir X {\displaystyle X} uzayının kapalı bir analitik altuzayı ise, I Z / X {\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}} ideal demeti koherenttir.
• Yerel Noether bir X {\displaystyle X} şemasının kapalı bir Z {\displaystyle Z} altşemasının O Z {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}} yapı demeti, X {\displaystyle X} üzerinde bir koherent demet olarak görülebilir. Kesin olarak bu, i : Z → X {\displaystyle i:Z\to X} dahil etme morfizmi olduğunda doğrudan görüntü demeti i ∗ O Z {\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}} 'dur; karmaşık analitik uzayın kapalı analitik altuzayı için de benzer. i ∗ O Z {\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}} demeti, açık X − Z {\displaystyle X-Z} kümesindeki noktalarda (aşağıda tanımlanan) sıfır boyutlu, Z {\displaystyle Z} 'deki noktalarda ise 1 boyutlu life sahiptir. X {\displaystyle X} üzerinde koherent demetlerin bir kısa tam dizisi vardır:

0 → I Z / X → O X → i ∗ O Z → 0. {\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}

• Doğrusal cebirin işlemlerinin çoğu koherent demetleri korur. Özel olarak, bir halkalı uzay X {\displaystyle X} üzerindeki koherent F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ve G {\displaystyle {\mathcal {G}}} demetleri için tensör çarpımı demeti F ⊗ O X G {\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}} ve homomorfizmler demeti H o m O X ( F , G ) {\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})} koherenttir.
• Yarı koherent olmayan bir demetin basit bir örneği, sıfırla genişletme fonktörü tarafından verilir. Örneğin, şu durum için i ! O X {\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}} 'i ele alalım:

X = Spec ⁡ ( C [ x , x − 1 ] ) → i Spec ⁡ ( C [ x ] ) = Y {\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}

Bu demetin önemsiz olmayan sapları (stalk) bulunduğundan ama global kesitleri sıfır olduğundan, yarı koherent bir demet olamaz. Bunun nedeni, afin bir şema üzerindeki yarı koherent demetlerin, altta yatan halka üzerindeki modüller kategorisine denk olması ve bu bağlantının (adjunction) global kesitler alınmasından gelmesidir.

f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} bir halkalı uzaylar morfizmi olsun (örneğin bir şema morfizmi). F {\displaystyle {\mathcal {F}}} , Y {\displaystyle Y} üzerinde yarı koherent bir demet ise, ters görüntü O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modülü (ya da geri çekme) f ∗ F {\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}} , X {\displaystyle X} üzerinde yarı koherenttir. Bir f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} şema morfizmi ve Y {\displaystyle Y} üzerinde koherent bir F {\displaystyle {\mathcal {F}}} demeti için geri çekme f ∗ F {\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}} , tam genellikte koherent değildir (örneğin, koherent olmayabilecek f ∗ O Y = O X {\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}} 'tir); ancak koherent demetlerin geri çekmeleri, X {\displaystyle X} yerel Noether ise koherenttir. Önemli bir özel durum, bir vektör demetinin geri çekmesinin yine bir vektör demeti olmasıdır.

f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} , şemaların yarı kompakt yarı ayrık bir morfizmi ve F {\displaystyle {\mathcal {F}}} , X {\displaystyle X} üzerinde yarı koherent bir demet ise, doğrudan görüntü demeti (ya da ileri itme) f ∗ F {\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}} , Y {\displaystyle Y} üzerinde yarı koherenttir.

Koherent bir demetin doğrudan görüntüsü çoğu zaman koherent değildir. Örneğin, bir cisim k {\displaystyle k} için X {\displaystyle X} , k {\displaystyle k} üzerinde afin doğru olsun ve f : X → Spec ⁡ ( k ) {\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)} morfizmini ele alalım; o hâlde doğrudan görüntü f ∗ O X {\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} , Spec ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (k)} üzerinde polinom halkası k [ x ] {\displaystyle k[x]} 'e ilişkin demettir ve k [ x ] {\displaystyle k[x]} , k {\displaystyle k} -vektör uzayı olarak sonsuz boyutlu olduğundan koherent değildir. Öte yandan, koherent bir demetin proper morfizm altındaki doğrudan görüntüsü, Grauert ve Grothendieck'in sonuçları uyarınca koherenttir.

Koherent demetlerin F {\displaystyle {\mathcal {F}}} önemli bir özelliği, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 'nin bir x {\displaystyle x} noktasındaki özelliklerinin, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 'nin x {\displaystyle x} 'in bir komşuluğundaki davranışını, keyfî bir demet için olacağından daha fazla denetlemesidir. Örneğin, Nakayama önermesi (geometrik dille) şöyle der: F {\displaystyle {\mathcal {F}}} , bir X {\displaystyle X} şeması üzerinde koherent bir demet ise, x {\displaystyle x} noktasındaki (artık cisim k ( x ) {\displaystyle k(x)} üzerinde bir vektör uzayı olan) lif F x ⊗ O X , x k ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)} , ancak ve ancak F {\displaystyle {\mathcal {F}}} demeti x {\displaystyle x} 'in bazı açık komşuluklarında sıfırsa sıfırdır. İlgili bir olgu da, koherent bir demetin liflerinin boyutunun üstten yarı sürekli olduğudur. Böylece koherent bir demet, bir açık kümede sabit ranka sahiptir; rank ise daha düşük boyutlu bir kapalı altkümede yukarı sıçrayabilir.

Aynı ruhta: bir X {\displaystyle X} şeması üzerindeki koherent bir F {\displaystyle {\mathcal {F}}} demeti, ancak ve ancak X {\displaystyle X} 'in her x {\displaystyle x} noktasındaki sapı F x {\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}} , yerel halka O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} üzerinde serbest modül ise bir vektör demetidir.

Genel bir şema üzerinde, koherent bir demetin vektör demeti olup olmadığı yalnızca liflerinden (saplarından değil) yola çıkarak belirlenemez. Ancak indirgenmiş yerel Noether bir şema üzerinde, koherent bir demeti ancak ve ancak rankı yerel olarak sabit ise vektör demetidir.

X → Y {\displaystyle X\to Y} şema morfizmi için, X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} üzerinde ayrık ise kapalı gömme olan köşegen morfizmi Δ : X → X × Y X {\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X} olsun. I {\displaystyle {\mathcal {I}}} , X × Y X {\displaystyle X\times _{Y}X} içindeki X {\displaystyle X} 'in ideal demeti olsun. O hâlde diferansiyeller demeti Ω X / Y 1 {\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}} , I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 'nin X {\displaystyle X} 'e geri çekmesi Δ ∗ I {\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}} olarak tanımlanabilir. Bu demetin kesitlerine, X {\displaystyle X} 'in Y {\displaystyle Y} üzerindeki 1-formları denir ve bunlar, X {\displaystyle X} üzerinde yerel olarak, regüler f j {\displaystyle f_{j}} ve g j {\displaystyle g_{j}} fonksiyonları için ∑ f j d g j {\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}} sonlu toplamları biçiminde yazılabilir. X {\displaystyle X} , bir k {\displaystyle k} cismi üzerinde yerel olarak sonlu tip ise, Ω X / k 1 {\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}} , X {\displaystyle X} üzerinde koherent bir demettir.

X {\displaystyle X} , k {\displaystyle k} üzerinde pürüzsüz ise, Ω 1 {\displaystyle \Omega ^{1}} ( Ω X / k 1 {\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}} anlamında), X {\displaystyle X} 'in kotanjant demeti diye adlandırılan bir vektör demetidir. O hâlde teğet demeti T X {\displaystyle TX} , dual demet ( Ω 1 ) ∗ {\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}} olarak tanımlanır. X {\displaystyle X} , her yerde n {\displaystyle n} boyutlu olarak k {\displaystyle k} üzerinde pürüzsüz ise, teğet demetinin rankı n {\displaystyle n} dir.

Y {\displaystyle Y} , k {\displaystyle k} üzerinde pürüzsüz bir X {\displaystyle X} şemasının pürüzsüz kapalı bir altşeması ise, Y {\displaystyle Y} üzerinde vektör demetlerinin şu kısa tam dizisi vardır:

0 → T Y → T X | Y → N Y / X → 0 , {\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}

bu dizi, Y {\displaystyle Y} 'nin X {\displaystyle X} içindeki normal demeti N Y / X {\displaystyle N_{Y/X}} 'nin bir tanımı olarak kullanılabilir.

k {\displaystyle k} cismi üzerinde pürüzsüz bir X {\displaystyle X} şeması ve bir doğal sayı i {\displaystyle i} için, X {\displaystyle X} üzerindeki i-formlarının Ω i {\displaystyle \Omega ^{i}} vektör demeti, kotanjant demetinin i {\displaystyle i} -inci dış kuvveti olarak tanımlanır: Ω i = Λ i Ω 1 {\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}} . k {\displaystyle k} üzerinde n {\displaystyle n} boyutlu pürüzsüz bir varyete X {\displaystyle X} için, kanonik demet K X {\displaystyle K_{X}} , Ω n {\displaystyle \Omega ^{n}} doğru demetini belirtir. Böylece kanonik demetin kesitleri, X {\displaystyle X} üzerindeki hacim formlarının cebirsel-geometrik benzerleridir. Örneğin, k {\displaystyle k} üzerinde afin uzayın kanonik demetinin bir kesiti

f ( x 1 , … , x n ) d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n , {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}

biçiminde yazılabilir; burada f {\displaystyle f} , katsayıları k {\displaystyle k} içinde olan bir polinomdur.

R {\displaystyle R} bir değişmeli halka ve n {\displaystyle n} bir doğal sayı olsun. Her j {\displaystyle j} tam sayısı için, R {\displaystyle R} üzerindeki projektif uzay P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} üzerinde O ( j ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(j)} diye adlandırılan önemli bir doğru demeti örneği vardır. Bunu tanımlamak için, koordinatlar cinsinden ( x 0 , … , x n ) ↦ [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]} ile verilen

π : A n + 1 − 0 → P n {\displaystyle \pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}

R {\displaystyle R} -şema morfizmini ele alalım. (Yani, projektif uzayı, afin uzayın tek boyutlu doğrusal altuzaylarının uzayı olarak düşünerek, afin uzaydaki sıfırdan farklı bir noktayı, o noktanın gerdiği doğruya gönderin.) O hâlde O ( j ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(j)} 'nin P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} 'nin bir açık U {\displaystyle U} altkümesi üzerindeki bir kesiti, ( A 1 − 0 ) × π − 1 ( U ) {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)} üzerindeki regüler fonksiyonlar olarak f ( a x ) = a j f ( x ) {\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)} anlamına gelen, π − 1 ( U ) {\displaystyle \pi ^{-1}(U)} üzerinde j {\displaystyle j} derecesinden homojen bir f {\displaystyle f} regüler fonksiyonu olarak tanımlanır. Tüm i {\displaystyle i} ve j {\displaystyle j} tam sayıları için, P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} üzerindeki doğru demetlerinin O ( i ) ⊗ O ( j ) ≅ O ( i + j ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)} izomorfizmi vardır.

Özel olarak, R {\displaystyle R} üzerinde x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} değişkenlerinde j {\displaystyle j} derecesinden her homojen polinom, P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} üzerinde O ( j ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(j)} 'nin bir global kesiti olarak görülebilir. Projektif uzayın her kapalı altşemasının, bazı homojen polinom koleksiyonlarının, dolayısıyla O ( j ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(j)} doğru demetlerinin bazı kesitlerinin sıfır kümesi olarak tanımlanabileceğini unutmayın. Bu, bir kapalı altşemanın yalnızca bazı regüler fonksiyon koleksiyonlarının sıfır kümesi olduğu afin uzayın daha basit durumuyla karşılaştırılabilir. R {\displaystyle R} üzerindeki P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} projektif uzayındaki regüler fonksiyonlar yalnızca "sabitler"dir ( R {\displaystyle R} halkası); bu yüzden O ( j ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(j)} doğru demetleriyle çalışmak zorunludur.

Serre, projektif uzay üzerindeki tüm koherent demetlerin, afin uzayda olup bitenlerden daha ince olan cebirsel bir betimini verdi. Şöyle ki: R {\displaystyle R} bir Noether halkası olsun (örneğin bir cisim) ve S = R [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]} polinom halkasını, her x i {\displaystyle x_{i}} 'nin 1 derecesinde olduğu bir dereceli halka olarak ele alalım. O hâlde sonlu üretilmiş her dereceli S {\displaystyle S} -modülü M {\displaystyle M} , R {\displaystyle R} üzerinde P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} üzerinde ilişkin bir koherent M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} demetine sahiptir. P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} üzerindeki her koherent demet, sonlu üretilmiş dereceli bir S {\displaystyle S} -modülü M {\displaystyle M} 'den bu yolla elde edilir. (Örneğin, O ( j ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(j)} doğru demeti, derecesi j {\displaystyle j} kadar aşağı kaydırılmış S {\displaystyle S} -modülü S {\displaystyle S} 'ye ilişkin demettir.) Ne var ki P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} üzerinde verili bir koherent demeti veren S {\displaystyle S} -modülü M {\displaystyle M} benzersiz değildir; M {\displaystyle M} , yalnızca sonlu sayıda derecede sıfırdan farklı olan dereceli modüllerle değiştirilmesi ölçüsünde benzersizdir. Daha kesin olarak, P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} üzerindeki koherent demetlerin Abel kategorisi, sonlu üretilmiş dereceli S {\displaystyle S} -modüllerinin kategorisinin, yalnızca sonlu sayıda derecede sıfırdan farklı olan modüllerin Serre altkategorisine göre bölümüdür.

Bir k {\displaystyle k} cismi üzerindeki projektif uzay P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} 'nin teğet demeti, O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} doğru demeti cinsinden betimlenebilir. Şöyle ki, Euler dizisi diye adlandırılan şu kısa tam dizi vardır:

0 → O P n → O ( 1 ) ⊕ n + 1 → T P n → 0. {\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}

Bundan, kanonik demetin K P n {\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}} (teğet demetinin determinant doğru demetinin dualı) O ( − n − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)} 'e izomorf olduğu sonucu çıkar. Bu, cebirsel geometri için temel bir hesaplamadır. Örneğin, kanonik demetin geniş O ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(1)} 'in negatif bir katı olması, projektif uzayın bir Fano varyetesi olduğu anlamına gelir. Karmaşık sayılar üzerinde bu, projektif uzayın pozitif Ricci eğriliğine sahip bir Kähler metriği bulunduğu anlamına gelir.

d {\displaystyle d} derecesinden homojen f {\displaystyle f} polinomuyla tanımlanan pürüzsüz bir d {\displaystyle d} dereceli hiperyüzey X ⊆ P n {\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{n}} ele alalım. O hâlde şu tam dizi vardır:

0 → O X ( − d ) → i ∗ Ω P n → Ω X → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0}

burada ikinci dönüşüm diferansiyel formların geri çekmesi, birinci dönüşüm ise

ϕ ↦ d ( f ⋅ ϕ ) {\displaystyle \phi \mapsto d(f\cdot \phi )}

dönüşümüdür. Bu dizi bize O ( − d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)} 'nin, X {\displaystyle X} 'in P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} içindeki konormal demeti olduğunu söyler. Bunun dualını almak şu tam diziyi verir:

0 → T X → i ∗ T P n → O ( d ) → 0 {\displaystyle 0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0}

dolayısıyla O ( d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)} , X {\displaystyle X} 'in P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} içindeki normal demetidir. Rankları r 1 {\displaystyle r_{1}} , r 2 {\displaystyle r_{2}} , r 3 {\displaystyle r_{3}} olan vektör demetlerinin

0 → E 1 → E 2 → E 3 → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0}

tam dizisi verildiğinde, doğru demetlerinin

Λ r 2 E 2 ≅ Λ r 1 E 1 ⊗ Λ r 3 E 3 {\displaystyle \Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}}

izomorfizminin bulunduğu olgusunu kullanırsak, şu izomorfizmin olduğunu görürüz:

i ∗ ω P n ≅ ω X ⊗ O X ( − d ) {\displaystyle i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)}

bu da bize şunu gösterir:

ω X ≅ O X ( d − n − 1 ) {\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)}

Rank 2 vektör demetleri yapılandırmak için yararlı bir teknik, Serre yapılandırmasıdır^{sayfa 3}; bu yapılandırma, pürüzsüz projektif bir X {\displaystyle X} varyetesi üzerindeki rank 2 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} vektör demetleri ile 2. kodimensionlu Y {\displaystyle Y} altvaryeteleri arasında, X {\displaystyle X} üzerinde hesaplanan belirli bir Ext 1 {\displaystyle {\text{Ext}}^{1}} -grubu kullanarak bir karşılıklılık kurar. Bu, ∧ 2 E {\displaystyle \wedge ^{2}{\mathcal {E}}} doğru demeti üzerindeki (aşağıda görülen) bir kohomolojik koşulla verilir.

Karşılıklılığın bir yöndeki hâli şöyledir: bir s ∈ Γ ( X , E ) {\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})} kesiti için sıfırlanma yeri V ( s ) ⊆ X {\displaystyle V(s)\subseteq X} ile ilişkilendirilebilir. V ( s ) {\displaystyle V(s)} bir 2. kodimensionlu altvaryete ise,

1. Bu bir yerel tam kesişimdir; yani bir U i ⊆ X {\displaystyle U_{i}\subseteq X} afin haritası alırsak, s | U i ∈ Γ ( U i , E ) {\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})} , s i ( p ) = ( s i 1 ( p ) , s i 2 ( p ) ) {\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))} ve V ( s ) ∩ U i = V ( s i 1 , s i 2 ) {\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})} olacak biçimde bir s i : U i → A 2 {\displaystyle s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}} fonksiyonu olarak temsil edilebilir.
2. ω X ⊗ ∧ 2 E | V ( s ) {\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}} doğru demeti, V ( s ) {\displaystyle V(s)} üzerindeki kanonik demet ω V ( s ) {\displaystyle \omega _{V(s)}} 'ye izomorftur.

Ters yönde, bir 2. kodimensionlu Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} altvaryetesi ve şu koşulları sağlayan bir L → X {\displaystyle {\mathcal {L}}\to X} doğru demeti için:

1. H 1 ( X , L ) = H 2 ( X , L ) = 0 {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0}
2. ω Y ≅ ( ω X ⊗ L ) | Y {\displaystyle \omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}}

şu kanonik izomorfizm vardır:

Hom ( ( ω X ⊗ L ) | Y , ω Y ) ≅ Ext 1 ( I Y ⊗ L , O X ) {\displaystyle {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})} ,

bu izomorfizm, 2. kodimensionlu altvaryetelerin dahil edilmesine göre fonktoryeldir. Ayrıca solda verilen her izomorfizm, sağdaki genişlemenin ortasındaki yerel serbest bir demete karşılık gelir. Yani, bir izomorfizm olan s ∈ Hom ( ( ω X ⊗ L ) | Y , ω Y ) {\displaystyle s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})} için, şu kısa tam diziye uyan rank 2 bir yerel serbest E {\displaystyle {\mathcal {E}}} demeti vardır:

0 → O X → E → I Y ⊗ L → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0}

Bu vektör demeti, kararlı olup olmadığını belirlemek için kohomolojik değişmezler kullanılarak daha ileri incelenebilir. Bu, kararlı vektör demetlerinin modulilerinin, örneğin asıl kutuplu Abel varyetileri ve K3 yüzeyleri üzerindeki gibi birçok özel durumda incelenmesinin temelini oluşturur.

Bir cisim üzerinde pürüzsüz bir X {\displaystyle X} varyetesi üzerindeki bir E {\displaystyle E} vektör demetinin, X {\displaystyle X} 'in Chow halkası içinde Chern sınıfları vardır: i ≥ 0 {\displaystyle i\geq 0} için c i ( E ) {\displaystyle c_{i}(E)} , C H i ( X ) {\displaystyle CH^{i}(X)} içindedir. Bunlar, topolojideki Chern sınıflarıyla aynı biçimsel özellikleri sağlar. Örneğin, X {\displaystyle X} üzerindeki vektör demetlerinin herhangi bir

0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}

kısa tam dizisi için, B {\displaystyle B} 'nin Chern sınıfları şöyle verilir:

c i ( B ) = c i ( A ) + c 1 ( A ) c i − 1 ( C ) + ⋯ + c i − 1 ( A ) c 1 ( C ) + c i ( C ) . {\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}

Bundan, bir E {\displaystyle E} vektör demetinin Chern sınıflarının yalnızca E {\displaystyle E} 'nin Grothendieck grubu K 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)} içindeki sınıfına bağlı olduğu sonucu çıkar. Tanım gereği, bir X {\displaystyle X} şeması için K 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)} , X {\displaystyle X} üzerindeki vektör demetlerinin izomorfizm sınıfları kümesi üzerindeki serbest Abel grubunun, yukarıdaki gibi her kısa tam dizi için [ B ] = [ A ] + [ C ] {\displaystyle [B]=[A]+[C]} bağıntısına göre bölümüdür. K 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)} genel olarak hesaplamak zor olsa da, cebirsel K-teorisi, i > 0 {\displaystyle i>0} tam sayıları için ilgili K i ( X ) {\displaystyle K_{i}(X)} grupları dizisi de dâhil olmak üzere onu incelemek için birçok araç sağlar.

Bir çeşidi, X {\displaystyle X} üzerindeki koherent demetlerin Grothendieck grubu G 0 ( X ) {\displaystyle G_{0}(X)} 'dir (ya da K 0 ′ ( X ) {\displaystyle K_{0}'(X)} ). (Topolojik terimlerle, G-teorisi, şemalar için Borel–Moore homolojisi teorisinin biçimsel özelliklerine sahiptir; K-teorisi ise karşılık gelen kohomoloji teorisidir.) Doğal K 0 ( X ) → G 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)} homomorfizmi, X {\displaystyle X} regüler ayrık Noether bir şema ise, o durumda her koherent demetin vektör demetleriyle sonlu bir çözümlemeye sahip olmasından yararlanılarak bir izomorfizmdir. Örneğin, bu, cisim üzerinde pürüzsüz bir varyete üzerindeki bir koherent demetin Chern sınıflarının bir tanımını verir.

Daha genel olarak, Noether bir X {\displaystyle X} şemasında, her koherent demetin X {\displaystyle X} üzerindeki bir vektör demetinden üzerindeneli bir dönüşümü varsa, X {\displaystyle X} 'in çözümleme özelliği olduğu söylenir. Örneğin, Noether bir halka üzerindeki her yarı-projektif şema çözümleme özelliğine sahiptir.

Çözümleme özelliği, Noether bir şema üzerindeki bir koherent E {\displaystyle {\mathcal {E}}} demetinin, türetilmiş kategoride vektör demetleri kompleksine

E k → ⋯ → E 1 → E 0 {\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}

yarı-izomorf olduğunu belirttiğinden, E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 'nin toplam Chern sınıfını

c ( E ) = c ( E 0 ) c ( E 1 ) − 1 ⋯ c ( E k ) ( − 1 ) k {\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}}

ile hesaplayabiliriz.

Örneğin, bu formül, X {\displaystyle X} 'in bir altşemasını temsil eden demetin Chern sınıflarını bulmak için yararlıdır. ( x y , x z ) ⊆ C [ x , y , z , w ] {\displaystyle (xy,xz)\subseteq \mathbb {C} [x,y,z,w]} idealine ilişkin projektif Z {\displaystyle Z} şemasını alırsak,

c ( O Z ) = c ( O ) c ( O ( − 3 ) ) c ( O ( − 2 ) ⊕ O ( − 2 ) ) {\displaystyle c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}}

çünkü C P 3 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}} üzerinde şu çözümleme vardır:

0 → O ( − 3 ) → O ( − 2 ) ⊕ O ( − 2 ) → O → O Z → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-3)\to {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}

Vektör demetleri ile sonlu sabit ranklı yerel serbest demetler birbirinin yerine kullanıldığında, demet homomorfizmleri ile bunların demet-karşılıkları arasında dikkatli ayrım yapılmalıdır. Kesin olarak, p : E → X , q : F → X {\displaystyle p:E\to X,\,q:F\to X} vektör demetleri verildiğinde, tanım gereği bir φ : E → F {\displaystyle \varphi :E\to F} homomorfizmi, X {\displaystyle X} üzerinde bir şema morfizmidir (yani p = q ∘ φ {\displaystyle p=q\circ \varphi } ) ve X {\displaystyle X} 'in her geometrik x {\displaystyle x} noktasında φ x : p − 1 ( x ) → q − 1 ( x ) {\displaystyle \varphi _{x}:p^{-1}(x)\to q^{-1}(x)} , x {\displaystyle x} 'ten bağımsız ranklı doğrusal bir dönüşümdür. Böylece, karşılık gelen yerel serbest O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modülleri (dual kesitlerin demetleri) arasında sabit ranklı bir φ ~ : E → F {\displaystyle {\widetilde {\varphi }}:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {F}}} demet homomorfizmi belirler. Ama bu yoldan gelmeyen O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -modül homomorfizmleri olabilir; bunlar sabit ranka sahip olmayanlardır.

Özel olarak, bir E ⊆ F {\displaystyle E\subseteq F} altdemeti bir altdemettir (yani E {\displaystyle {\mathcal {E}}} , F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 'nin bir altdemetidir). Ama tersi başarısız olabilir; örneğin, X {\displaystyle X} üzerindeki etkin bir Cartier bölücüsü D {\displaystyle D} için O X ( − D ) ⊆ O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}} bir altdemet, ama genellikle bir alt demet değildir (herhangi bir doğru demetinin yalnızca iki altdemeti olduğundan).

Herhangi bir sabit şema üzerindeki yarı koherent demetler bir Abel kategorisi oluşturur. Gabber, aslında herhangi bir şema üzerindeki yarı koherent demetlerin özellikle iyi davranan bir Abel kategorisi, bir Grothendieck kategorisi oluşturduğunu göstermiştir. Yarı kompakt yarı ayrık bir X {\displaystyle X} şeması (örneğin bir cisim üzerinde cebirsel bir varyete), Gabriel'in bir sonucunu genelleştiren Rosenberg tarafından, X {\displaystyle X} üzerindeki yarı koherent demetlerin Abel kategorisine göre izomorfizme kadar belirlenir.

Cebirsel geometrideki temel teknik araç, koherent demetlerin kohomoloji teorisidir. Yalnızca 1950'lerde tanıtılmış olsa da, cebirsel geometrinin daha eski birçok tekniği, koherent demetlere uygulanan demet kohomolojisi diliyle aydınlatılır. Genel olarak, koherent demet kohomolojisi, belirtilen özelliklere sahip fonksiyonlar üretme aracı olarak görülebilir; doğru demetlerinin ya da daha genel demetlerin kesitleri genelleştirilmiş fonksiyonlar olarak görülebilir. Karmaşık analitik geometride, koherent demet kohomolojisi de temel bir rol oynar.

Koherent demet kohomolojisinin temel sonuçları arasında, kohomolojinin sonlu boyutluluğu üzerine sonuçlar, çeşitli durumlarda kohomolojinin sıfırlanması üzerine sonuçlar, Serre ikiliği gibi ikilik teoremleri, Hodge teorisi gibi topoloji ile cebirsel geometri arasındaki bağlantılar ve Riemann–Roch teoremi gibi koherent demetlerin Euler karakteristiği için formüller yer alır.

• Picard grubu
• Bölücü (cebirsel geometri)
• Refleksif demet
• Quot şeması
• Burkulmuş demet
• Asıl sonlu vektör demeti
• Asıl parçalar demeti
• Gabriel–Rosenberg yeniden yapılandırma teoremi
• Yarı koherent demet
• Cebirsel yığın üzerinde yarı koherent demet

• Antieau, Benjamin (2016), "A reconstruction theorem for abelian categories of twisted sheaves", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2016 (712), ss. 175-188, arXiv:1305.2541 , doi:10.1515/crelle-2013-0119, MR 3466552 
• Danilov, V. I. "Coherent algebraic sheaf" (İngilizce). Encyclopedia of Mathematics.  Eksik ya da boş |url= (yardım)Arşivlenmesi gereken bağlantıya sahip kaynak şablonu içeren maddeler (link)
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1984), Coherent Analytic Sheaves, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 265, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-69582-7, ISBN 3-540-13178-7, MR 0755331 
• Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 
• Fulton, William (1998), Intersection Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323 
• Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean. Éléments de géométrie algébrique I: Le langage des schémas, 0.5.3 ve 0.5.4 bölümleri.
• Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag, 1977. ISBN 978-0-387-90244-9.
• Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians. 2nd. 1358. Springer-Verlag. doi:10.1007/b62130. ISBN 3-540-63293-X. MR 1748380. 
• Onishchik, A. L. "Coherent analytic sheaf" (İngilizce). Encyclopedia of Mathematics.  Eksik ya da boş |url= (yardım)Arşivlenmesi gereken bağlantıya sahip kaynak şablonu içeren maddeler (link)
• Onishchik, A.L. (2001), "Coherent sheaf", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics, 61 (2), ss. 197-278, doi:10.2307/1969915, JSTOR 1969915, MR 0068874 

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project 
• Vakil, Ravi, The Rising Sea  adlı eserin V. bölümü