Kombinasyon

Kombinasyon, bir nesne grubu içerisinden sıra gözetmeksizin yapılan seçimlerdir. Nesne grubunun tekabül ettiği kümenin alt kümeleri olarak da tanımlanabilir. Çünkü alt kümelerde sıra önemli değildir.

Bir A kümesinin herhangi bir alt kümesine A kümesinin bir kombinasyonu denir. Mesela 52 iskambil kartı arasından seçilen dört kart, kartları seçme sırası önemli olmadığından bir kombinasyon problemidir.

Türkiye'de Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli'ne göre hazırlanan güncel 10. sınıf matematik ders kitabı, n farklı nesne arasından r farklı nesnenin seçim sayısını seçme sayısı ya da seçim sayısı diye anar ve binom simgesiyle gösterir. 2018 tarihli önceki öğretim programında ise kombinasyon terimi ve C(n, r) gösterimi kullanılıyordu.

• C(R, 1) = R
• C(R, R) = 1
• C(R, 0) = 1
• N ≠ M olmak üzere C(R, N) = C(R, M) ise N + M = R
• C(R, N) = S (sayma sayıları) ise R, N'den küçük olamaz.
• C(n, r) = C(n, n − r). n elemandan r tanesini seçmek, dışarıda kalacak n − r elemanı seçmekle aynı sayıda yol verir.
• C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2ⁿ. Bu toplam, n elemanlı bir kümenin bütün alt kümelerinin sayısıdır.

n elemanlı bir kümeden seçilen r elemanlı kombinasyonların toplamı (n ≥ r olmak şartıyla) aşağıdaki formülle ifade edilir:

C ( n , r ) = ( n r ) = ( n n − r ) = P ( n , r ) r ! = n ! r ! ( n − r ) ! {\displaystyle C(n,r)={n \choose r}={n \choose {n-r}}={\frac {P(n,r)}{r!}}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}

Kombinasyonun permütasyondan farkı, sıralamanın önemli olmamasıdır. Kombinasyonların toplamı, P ( n , r ) {\displaystyle P(n,r)} permütasyonların toplamı seçilen elemanların kendi aralarındaki sıralanma sayılarına ( r ! {\displaystyle r!} veya P ( r , r ) {\displaystyle P(r,r)} ) bölünerek bulunabilir.

Formüldeki bölmenin nedeni, sıralamalar sayılırken aynı seçimin birden çok kez sayılmasıdır. Örneğin A, B ve C adlı üç top ABC, ACB, BAC, BCA, CAB ve CBA olmak üzere altı farklı sırada dizilebilir, ama bu altı dizilişin hepsi aynı üç topun seçilmesi demektir. Beş farklı toptan üçünü sırayla dizmenin 5 · 4 · 3 = 60 yolu vardır. Her üçlü seçim bu sayımda 3! = 6 kez yer aldığından seçim sayısı 60 ÷ 6 = 10 olur. Ders kitabı da bu kuralı, önce n nesnenin r'li sıralanışlarının sayısını bulmak ve bulunan değeri r nesnenin kendi aralarındaki sıralanış sayısına bölmek biçiminde anlatır.

C ( 5 , 3 ) = ( 5 3 ) = ( 5 5 − 3 ) = P ( 5 , 3 ) 3 ! = 5 ! 3 ! ( 5 − 3 ) ! = 10 {\displaystyle C(5,3)={5 \choose 3}={5 \choose {5-3}}={\frac {P(5,3)}{3!}}={\frac {5!}{3!(5-3)!}}=10}

C ( 5 , 3 ) {\displaystyle C(5,3)}	C1	C2	C3
R1	4	3	2
R2	4	3	1
R3	4	3	0
R4	3	2	1
R5	3	2	0
R6	2	1	4
R7	2	1	0
R8	2	4	0
R9	1	3	0
R10	1	4	0

Çizelgede 0'dan 4'e kadar numaralanmış beş nesneden seçilebilecek on farklı üçlü, her satırda bir seçim olacak biçimde verilmiştir. Her üçlü seçim dışarıda kalan iki nesneyi de belirler. Bu yüzden beş nesneden üçünü seçmenin yolu ikisini seçmenin yoluna eşittir ve C(5, 3) = C(5, 2) = 10 olur.

n eleman arasından 0, 1, 2, ..., n tanesini seçmenin kaç farklı yolu olduğu ayrı ayrı hesaplanıp her n için bir satıra yazılırsa üçgen biçiminde bir dizilim ortaya çıkar. Bu dizilim genellikle Pascal üçgeni olarak bilinir. Üçgenin herhangi bir satırındaki ardışık iki sayının toplamı, bir sonraki satırda bu iki sayının ortasında bulunan sayıya eşittir. Başka bir deyişle C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1) eşitliği geçerlidir. Örneğin C(4, 2) + C(4, 3) = 6 + 4 = 10 = C(5, 3). Üçgenin satırlarındaki sayılar, (a + b)ⁿ ifadesinin binom açılımındaki katsayılardır.

Üçgen adını Blaise Pascal'ın Traité du triangle arithmétique adlı eserinden alır; eser 1665'te Paris'te yayımlanmıştır. Türkiye'nin 2018 tarihli öğretim programı, üçgenin aralarında Ömer Hayyam'ın da bulunduğu Hint, Çin ve İslam medeniyetlerindeki matematikçilerce Pascal'dan çok önce ele alındığını vurgular. Çinli matematikçi Yang Hui, 1261'de yazdığı eserde üçgeni altıncı satıra kadar vermiş ve bunu Jia Xian'ın incelemesinden öğrendiğini belirtmiştir. 12. yüzyılda yaşayan Semev'el el-Mağribî'nin cebir kitabı, katsayıların üçgen biçiminde dizildiği yöntemi Kerecî'ye dayandırır ve bu çalışmanın günümüze ulaşan tek anlatımıdır.

Seçilen öğeler yinelenebiliyorsa da sıra gözetilmez; bu seçime tekrarlı kombinasyon (İngilizce: combination with repetition) denir. n türden, aynı türün birden çok kez alınabildiği r öğelik seçimlerin sayısı

( n + r − 1 r ) = ( n + r − 1 ) ! r ! ( n − 1 ) ! {\displaystyle {\binom {n+r-1}{r}}={\frac {(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}}}

formülüyle bulunur.

Örneğin çilek, limon ve vişne çeşitlerinin bulunduğu bir dondurmacıdan iki top alınacaksa iki top aynı çeşitten de olabilir. Bu durumda seçimler çilek-çilek, limon-limon, vişne-vişne, çilek-limon, çilek-vişne ve limon-vişne olmak üzere altı tanedir. Formül de n = 3 ve r = 2 için ( 4 2 ) = 6 {\displaystyle {\binom {4}{2}}=6} sonucunu verir. Aynı çeşitten iki top alınamasaydı seçim sayısı ( 3 2 ) = 3 {\displaystyle {\binom {3}{2}}=3} olurdu.

Türkiye'de oynanan Çılgın Sayısal Loto'da oyuncu 1 ile 90 arasındaki sayılardan altısını seçer ve sayıların sırası gözetilmez. Bu yüzden oynanabilecek farklı kolonların sayısı 90 öğeden 6'lı kombinasyon sayısına eşittir:

C ( 90 , 6 ) = 90 ! 6 ! 84 ! = 622 614 630 {\displaystyle C(90,6)={\frac {90!}{6!\,84!}}=622\,614\,630}

Kolonların hepsi eşit olasılıklı olduğundan tek bir kolonla altı sayının hepsini tutturma olasılığı 622.614.630'da birdir.

Oyunun sistem tablosu da aynı hesaba dayanır. Altıdan fazla sayı işaretleyen oyuncu, işaretlediği sayıların bütün altılı seçimlerini ayrı kolonlar olarak oynamış olur. Tabloda 7 sayı için 7, 8 sayı için 28, 10 sayı için 210 kolon yazar; bunlar sırasıyla C(7, 6), C(8, 6) ve C(10, 6) sayılarıdır.

• Permütasyon