Menelaus teoremi, durum 1: DEF doğrsu ABC üçgeninin içinden geçer

İskenderiyeli Menelaus'a izafe edilen Menelaus teoremi düzlemsel geometride üçgenler üzerine bir teoremdir. A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} ve C {\displaystyle C} noktalarından oluşan △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninde B C {\displaystyle BC} , A C {\displaystyle AC} ve A B {\displaystyle AB} doğruları üzerinde bulunan ve üçgenin köşelerinden ayrık D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} ve F {\displaystyle F} noktalarının aynı doğru üzerinde olabilmesi ancak ve ancak:

A F F B ⋅ B D D C ⋅ C E E A = 1 {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}

denkleminin sağlanması ile mümkündür.

Bu denklemde, örneğin A B {\displaystyle AB} , eksi değer alabilen doğru parçalarını simgeler. Örnek olarak A F F B {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}} kesri sadece D E F {\displaystyle DEF} doğrusu A B {\displaystyle AB} kenarını kestiğinde artı değer alabilecek şekilde tanımlanmalıdır, çünkü sadece bu durumda iki doğru parçası aynı yönde ölçülmektedir ve bu durum diğer kesirler için de geçerlidir. Matematikçiler arasında bu teoremin yanlış olduğu üzerine süregelen bir şaka vardır (bunun yerine Ceva teoreminin kullanılması gerektiği söylenir).

İspatı

Menelaus teoremi, durum 2: DEF doğrusu ABC üçgeninin tamamen dışındadır.

Aşağıda teoremin pek çok ispatından bir tanesi verilmiştir. Öncelikle, denklemin sol tarafının işareti kontrol edilebilir. D E F {\displaystyle DEF} çizgisi △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} üçgeninin kenarlarını çift sayıda kesmelidir - üçgenin içinden geçerse iki kere (üst resim) ya da üçgenin içinden geçmezse sıfır kere (alt resim) (Pasch aksiyomu)-. Dolayısıyla daima tek sayıda eksi değer olacağından sonuç eksi olacaktır.

Daha sonra büyüklük kontrol edilebilir. DEF doğrusunu A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} ve C {\displaystyle C} köşelerine birleştiren dikmeler oluşturalım. D E F {\displaystyle DEF} 'yi taban kabul edelim ve A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} ve C {\displaystyle C} dikmelerinin yüksekliklerini a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ve c {\displaystyle c} olarak tanımlayalım. Benzer üçgenler kullanılarak denklemin sol tarafı aşağıdaki gibi sadeleşir:

| a b ⋅ b c ⋅ c a | = 1. {\displaystyle \,\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1.}

Son olarak teoremin denkleminin doğruluğu durumunda D {\displaystyle D} , E {\displaystyle E} , F {\displaystyle F} noktalarının doğrusal olması gerektiği çelişki kullanılarak ispatlanabilir. A B {\displaystyle AB} kenarı üzerinde F {\displaystyle F} 'den farklı bir F ′ {\displaystyle F'} noktası olduğunu varsayalım ve A F {\displaystyle AF} , A F ′ {\displaystyle AF'} ve A B {\displaystyle AB} doğru parçalarının uzunluklarını n {\displaystyle n} , n ′ {\displaystyle n'} ve s {\displaystyle s} olarak tanımlayalım. F ′ {\displaystyle F'} noktasının da denklemi doğruladığını varsayalım. Bu durumda aşağıdaki kesirler eşit değerde olacaktır:

A F F B = A F ′ F ′ B {\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}}
n s − n = n ′ s − n ′ {\displaystyle {\frac {n}{s-n}}={\frac {n'}{s-n'}}}

Bu da n = n ′ {\displaystyle n=n'} eşitliğine sadeleşir. Bu da A B {\displaystyle AB} doğrusu üzerinde yalnızca tek bir noktanın denklemi doğrulayabildiğini kanıtlar ve bu nokta da D {\displaystyle D} ve E {\displaystyle E} ile aynı doğru üzerinde bulunmalıdır. Simetriden dolayı aynı durum D {\displaystyle D} ve E {\displaystyle E} noktaları için de geçerlidir.

Batlamyus Almagest adlı eserinde Menelaus teoremini küresel trigonometri kuramının temeli olarak kullanmıştır.

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar