Rotasyonel

F → ( x , y , z ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)} ile gösterilen bir vektör alanının rotasyoneli, nabla operatörü ( ∇ → {\displaystyle {\vec {\nabla }}} ) ile F → {\displaystyle {\vec {F}}} 'nin vektörel çarpımına eşittir.

rot ⁡ F → = ∇ → × F → = det ⁡ | i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i ^ − ( ∂ F z ∂ x − ∂ F x ∂ z ) j ^ + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k ^ {\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\operatorname {det} {\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {i}}-\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\right){\hat {j}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {k}}}

Tensör gösterimi ( ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}\,} , Levi-Civita tensörü olmak üzere):

∇ × F = ϵ i j k ∂ j F k e i = e i ϵ i j k F k , j {\displaystyle \nabla \times F=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k}e_{i}=e_{i}\epsilon _{ijk}F_{k,j}}

ϕ {\displaystyle \phi \,} skaler bir alan, F → {\displaystyle {\vec {F}}} ve G → {\displaystyle {\vec {G}}} de vektörel birer alan olmak üzere, rotasyonel alma işleminin özellikleri şöyle sıralanabilir:

∇ → × ( F → + G → ) = ∇ → × F → + ∇ → × G → {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times ({\vec {F}}+{\vec {G}})={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}+{\vec {\nabla }}\times {\vec {G}}}
∇ → × ( ϕ F → ) = ( ∇ → ϕ ) × F → + ϕ ( ∇ → × F → ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times (\phi {\vec {F}})=({\vec {\nabla }}\phi )\times {\vec {F}}+\phi ({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})}
∇ × ( ∇ ϕ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=0}
∇ ⋅ ( ∇ × F → ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times {\vec {F}})=0}
∇ × ( ∇ × ϕ ) = − ∇ 2 ϕ + ∇ ⋅ ( ∇ ⋅ ϕ ) {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \phi )=-\nabla ^{2}\phi +\nabla \cdot (\nabla \cdot \phi )}