Sıfır uzayı

Doğrusal cebirde, bir M {\displaystyle M} matrisinin sıfır uzayı (kernel, null space) M x = 0 {\displaystyle Mx={\textbf {0}}} bağıntısını sağlayan tüm x {\displaystyle x} vektörlerinin oluşturduğu kümedir. Bir M {\displaystyle M} matrisinin 'sıfırlık' boyutu, M {\displaystyle M} matrisine çarpıldığında sıfır sonucunu veren birbirinden bağımsız x {\displaystyle x} yöneylerine göre hesaplanır.

m × n boyutlarına sahip bir M {\displaystyle M} matrisinin sıfır uzayı aşağıdaki şekilde gösterilir:

Null ( M ) = Ker ( M ) = { x ∈ C n : M x = 0 } , {\displaystyle {\mbox{Null}}(M)={\mbox{Ker}}(M)=\left\{x\in \mathbb {C} ^{n}:Mx={\textbf {0}}\right\}{\text{,}}}

burada 0 {\displaystyle {\textbf {0}}} , m bileşenli bir sıfır vektörüne karşılık gelmektedir. M x {\displaystyle Mx}  =  0 {\displaystyle {\textbf {0}}} şeklindeki matris denklemi aşağıdaki türdeş denklemler sistemi ile ayrı ayrı yazılabilir:

M x = 0 ⇔ M 11 x 1 + M 12 x 2 + ⋯ + M 1 n x n = 0 M 21 x 1 + M 22 x 2 + ⋯ + M 2 n x n = 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ M m 1 x 1 + M m 2 x 2 + ⋯ + M m n x n = 0. {\displaystyle Mx={\textbf {0}}\;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{6}M_{11}x_{1}&&\;+\;&&M_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&M_{1n}x_{n}&&\;=0&\\M_{21}x_{1}&&\;+\;&&M_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&M_{2n}x_{n}&&\;=0&\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&\vdots \,&\\M_{m1}x_{1}&&\;+\;&&M_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&M_{mn}x_{n}&&\;=0.&\end{alignedat}}}

M {\displaystyle M} matrisinin sıfır uzayı yukarıdaki denklem sisteminin çözümü ile elde edilir.

Aşağıdaki M {\displaystyle M} matrisini düşünelim

M = [ 2 3 5 − 4 2 3 ] . {\displaystyle M={\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}

Bu M {\displaystyle M} matrisinin sıfır uzayını bulmak için, (x, y, z) ∈  R {\displaystyle R} ³ üç boyutlu x-y-z uzayında aşağıdaki yazımı kullanabiliriz

[ 2 3 5 − 4 2 3 ] [ x y z ] = [ 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}{\text{.}}}

Yukardaki denklemi x, y ve z cinsinden aşağıdaki gibi ayrı ayrı yazabiliriz:

2 x + 3 y + 5 z = 0 , − 4 x + 2 y + 3 z = 0. {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&5z&&\;=\;&&0,\\-4x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&0.\\\end{alignedat}}}

Yukarıdaki denlemler çözüldüğünde

[ x y z ] = c [ − 1 − 26 16 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}

çözüm sistemi bulunur. Çözülen denklemler iki tane ve bilinmeyen üç tane olduğundan, c çarpanı herhangi bir şey olmak üzere yukarıdaki gösterim çözümleri gösterir.