Ters fonksiyon

Matematikte ters fonksiyon, bir fonksiyonun görüntü kümesinden alınan herhangi bir elemanını tanım kümesindeki aslına gönderen fonksiyona denir. Bir fonksiyonun tersi, fonksiyon birebir ve örten ise tanımlı olabilir. Ters fonksiyon $f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)}$ ile gösterilir. Ancak $f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)}$ yalnızca bir gösterim olup, "f(x) fonksiyonunun çarpmaya göre tersi" ile karıştırılmamalıdır.

Ters fonksiyon bulma

$f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b}$ şeklindeki doğrusal fonksiyonların tersi $f − 1 ( x ) = x − b a {\displaystyle f^{-1}(x)={\cfrac {x-b}{a}}}$ dır.

Örnek:

f ( x ) = 3 x − 2 ⇒ f − 1 ( x ) = f − 1 ( x ) = x + 2 3 {\displaystyle f(x)=3x-2\Rightarrow f^{-1}(x)=f^{-1}(x)={\cfrac {x+2}{3}}}

$f ( x ) = a x + b c x + d {\displaystyle f(x)={\cfrac {ax+b}{cx+d}}}$ fonksiyonunun tersi $f − 1 ( x ) = − d x + b c x − a {\displaystyle f^{-1}(x)={\cfrac {-dx+b}{cx-a}}}$ dır. Bir başka deyişle paydaki x'li terim ile paydadaki sabit sayının hem yerleri hem işaretleri değişir.

Örnek:

f ( x ) = x + 6 2 x − 5 ⇒ f − 1 ( x ) = 5 x + 6 2 x − 1 {\displaystyle f(x)={\cfrac {x+6}{2x-5}}\Rightarrow f^{-1}(x)={\cfrac {5x+6}{2x-1}}}

$f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ gibi ikinci dereceden polinom şeklindeki fonksiyonların tersini bulmak için şu yol uygulanır;

f : ( 3 , ∞ ) → ( 4 , ∞ ) {\displaystyle f:(3,\infty )\rightarrow (4,\infty )}

f ( x ) = x 2 − 6 x + 13 {\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+13}

y = x 2 − 6 x + 13 {\displaystyle y=x^{2}-6x+13}

(Bu aşamadan sonra x yalnız bırakılmaya çalışılacak.)

y = ( x 2 − 6 x + 9 ) + 4 {\displaystyle y=(x^{2}-6x+9)+4}

y = ( x − 3 ) 2 + 4 {\displaystyle y=(x-3)^{2}+4}

(İfadenin bir kısmı tam kare hâline çevrildi)

y − 4 = ( x − 3 ) 2 {\displaystyle y-4=(x-3)^{2}}

y − 4 = ( x − 3 ) 2 {\displaystyle {\sqrt {y-4}}={\sqrt {(x-3)^{2}}}}

y − 4 = | x − 3 | {\displaystyle {\sqrt {y-4}}=|x-3|}

y − 4 = x − 3 {\displaystyle {\sqrt {y-4}}=x-3}

(x, 3 ten büyük olduğu için mutlak değer içi pozitiftir.)

x = 3 + y − 4 {\displaystyle x=3+{\sqrt {y-4}}}

f − 1 ( x ) = 3 + x − 4 {\displaystyle f^{-1}(x)=3+{\sqrt {x-4}}}