Totient

Totient (kısaca φ, n) sayılar teorisinde, bir tam sayının o sayıdan daha küçük ve o sayı ile aralarında asal olan sayma sayı sayısını belirten fonksiyondur. Genellikle Euler Totient ya da Euler'in Totienti olarak adlandırılan Totient, İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından yaratılmıştır. Totient fonksiyonu, Yunan harflerinden φ {\displaystyle \varphi } ile simgelendiği için Fi fonksiyonu olarak da anılabilir.

Örneğin, φ ( 10 ) = 4 {\displaystyle \varphi (10)=4} ; zira 10 ile dört sayma sayısı, hem 10'dan küçüktür, hem de 10 ile arasında asaldır: 1, 3, 7 ve 9.

Euler fonksiyonu, Euler Fermat teoreminde de kullanılır. Şöyle ki:

a φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}} , a ile n aralarında asal ise. Dolayısıyla, a φ ( n ) − 1 {\displaystyle a^{\varphi (n)}-1} , n'in bir tam katıdır.

Örneğin, a 4 − 1 {\displaystyle a^{4}-1} , a = 1 , 3 , 7 , 9 {\displaystyle a=1,3,7,9} için sırasıyla 0 , 80 , 2400 , 6560 {\displaystyle 0,80,2400,6560} , 10'un bir tam katıdır.

Totient fonksiyonu ayrıca RSA kriptografi sisteminde de kilit rol oynamaktadır.

Fonksiyonun yukarıda verilen tanımına göre φ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \varphi (1)=1} ve eğer p bir asal sayıysa φ ( p k ) = ( p − 1 ) p k − 1 {\displaystyle \varphi (p^{k})=(p-1)p^{k-1}} . Bunun yanında, totient fonksiyonunun çarpım özelliği de vardır: m ve n aralarında asallarsa φ ( m n ) = φ ( m ) φ ( n ) {\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)} . (Bu yargının ispatının anahattı: A,B ve C kümeleri sırasıyla m,n ve mn ile aralarında asal ve modlarının kalan kümesi olsun. Bu durumda, Çinlilerin kalan teoreminden yararlanılırsa görülür ki, AxB ve C arasında eşleme olur.) Yani, φ {\displaystyle \varphi } fonksiyonunun değeri aritmetiğin temel teoremi kullanılarak hesaplanabilir. Öyleyse,

n = p 1 k 1 ⋯ p r k r {\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}}

için

φ ( n ) = ( p 1 − 1 ) p 1 k 1 − 1 ⋯ ( p r − 1 ) p r k r − 1 . {\displaystyle \varphi (n)=(p_{1}-1)p_{1}^{k_{1}-1}\cdots (p_{r}-1)p_{r}^{k_{r}-1}.}

Yukarıdaki formül bir Euler Çarpımı'dır ve genellikle

φ ( n ) = n ⋅ ∏ p | n ( 1 − 1 p ) {\displaystyle \varphi (n)=n\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)}

şeklinde yazılır.

φ ( 36 ) = φ ( 3 2 2 2 ) = 36 ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 2 ) = 36 ⋅ 2 3 ⋅ 1 2 = 12 {\displaystyle \varphi (36)=\varphi \left(3^{2}2^{2}\right)=36\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}\right)=36\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}=12}

Yani yazıyla ifade edersek, 36'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. 36'nın yarısı olan 18 tane sayı 2 ile bölünür, dolayısıyla 36 ile aralarında asal değildir. Kalan 18 sayının da 3'te biri 3 ile bölünür. Bu durumda 36 sayı içerisinde 36 ile aralarında asal olan sadece 12 sayı kalır.

İlk birkaç değer aşağıdaki tabloda ve grafikte gösterilmiştir:

φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)}	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
10+	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
20+	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
40+	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
50+	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
60+	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
70+	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
80+	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
90+	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60

φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} sayısı aynı zamanda dairesel grup olan C_nnin olası generatörlerine eşittir. Bu nedenle C_nin her elemanı, bir dairesel altgrup oluşturur. C_nnin algrupları C_d formundadır, eğer d böler n (d | n şeklinde yazılır). Böylece

∑ d ∣ n φ ( d ) = n {\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n}

Buradaki toplam nnin tüm d pozitif bölenlerine kadar genişler.

Şimdi Möbius formülünü, bu toplamı değiştirmek ve φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} için bir formül daha elde etmek için kullanabiliriz:

φ ( n ) = ∑ d ∣ n d ⋅ μ ( n d ) {\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu \left({\frac {n}{d}}\right)}

Burada, μ pozitif tam sayılarda tanımlanan Möbius fonksiyonudur.

Euler'in teoremine göre, eğer a ile n aralarında asallarsa, yani ebob(a, n) = 1,

a φ ( n ) ≡ 1 mod n . {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n.\,}

Bu durum Lagrange'ın teoremini ve anın Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } nin mod n'e göre tam sayı grubuna ait olmasını takip eder. (Ancak ve ancak a ile n aralarında asallarsa).

Burada gösterilen iki fonksiyon da

∑ d | n φ ( d ) = n . {\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n.}

nın sonucudur.

φ {\displaystyle \varphi } (n)yi içeren bir Dirichlet Serisi

∑ n = 1 ∞ φ ( n ) n s = ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}}

öyle ki ζ(s) Rienmann Zeta Fonksiyonudur. Bunun ispatı aşağıda gösterildiği gibidir:

ζ ( s ) ∑ f = 1 ∞ φ ( f ) f s = ( ∑ g = 1 ∞ 1 g s ) ( ∑ f = 1 ∞ φ ( f ) f s ) {\displaystyle \zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)}

( ∑ g = 1 ∞ 1 g s ) ( ∑ f = 1 ∞ φ ( f ) f s ) = ∑ h = 1 ∞ ( ∑ f g = h 1 ⋅ φ ( g ) ) 1 h s {\displaystyle \left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}}

∑ h = 1 ∞ ( ∑ f g = h φ ( g ) ) 1 h s = ∑ h = 1 ∞ ( ∑ d | h φ ( d ) ) 1 h s {\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}}

∑ h = 1 ∞ ( ∑ d | h φ ( d ) ) 1 h s = {\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=} ∑ h = 1 ∞ h h s {\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}}

∑ h = 1 ∞ h h s = ζ ( s − 1 ) {\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)}

Lambert serisi fonksiyonu,

∑ n = 1 ∞ φ ( n ) q n 1 − q n = q ( 1 − q ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}}

öyle ki |q|<1 için ıraksar.

Bu durumun nedeni

∑ n = 1 ∞ φ ( n ) q n 1 − q n = ∑ n = 1 ∞ φ ( n ) ∑ r ≥ 1 q r n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r\geq 1}q^{rn}}

yani

∑ k ≥ 1 q k ∑ n | k φ ( n ) = ∑ k ≥ 1 k q k = q ( 1 − q ) 2 . {\displaystyle \sum _{k\geq 1}q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.}

φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} nin fonksiyon olarak büyümesi ilginç bir sorudur; çünkü küçüknler için φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} in nden küçük olacağı düşüncesi tam olarak doğru değildir. Asimptotik olarak,

n 1 − ε < φ ( n ) < n {\displaystyle \,n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n}

(herhangi bir ε > 0 ve n > N(ε) için)

Aslında

φ ( n ) / n , {\displaystyle \,\varphi (n)/n,}

ele alınırsa,

1 − p − 1 {\displaystyle 1-p^{-1}\,}

yazılabilir. p|ni sağlayan p asal sayıları için)

Asal sayı teoremi'nden εnin yerine aşağıdakinin yazılabileceği gösterilebilir:

C log ⁡ log ⁡ n / log ⁡ n . {\displaystyle C\,\log \log n/\log n.}

φ {\displaystyle \varphi } de ortalama olarak ne yakındır.

1 n 2 ∑ k = 1 n φ ( k ) = 3 π 2 + O ( log ⁡ n n ) {\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}

Yani

{ 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}} ndan rastgele seçilen iki pozitif sayının aralarında asal olma olasılığı n sonsuza yaklaşırken 6 π 2 {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}} a yaklaşır. Bununla ilgili bir sonuç da,

1 n ∑ k = 1 n φ ( k ) k = 6 π 2 + O ( log ⁡ n n ) {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}

ile gösterilir; çünkü 6 π 2 = 1 ζ ( 2 ) {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}} , formül bu şekilde de ifade edilebilir.

1 n ∑ k = 1 n φ ( k ) k = 1 ζ ( 2 ) + O ( log ⁡ n n ) {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {1}{\zeta (2)}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)}

• φ ( n m ) = n m − 1 φ ( n )  for  m ≥ 1 {\displaystyle \;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n){\text{ for }}m\geq 1}
• herhangi  a , n > 1 , öyle vardır ki l ≥ n  öyledir ki  l | φ ( a n − 1 ) {\displaystyle {\text{herhangi }}a,n>1{\text{, öyle vardır ki}}l\geq n{\text{ öyledir ki }}l|\varphi (a^{n}-1)}
• Herhangi  a > 1  ve  n > 6  öyle vardır ki  4 ⧸ | n  öyledir ki  l ≥ 2 n  öyledir ki  l | φ ( a n − 1 ) {\displaystyle {\text{Herhangi }}a>1{\text{ ve }}n>6{\text{ öyle vardır ki }}4\not |n{\text{ öyledir ki }}l\geq 2n{\text{ öyledir ki }}l|\varphi (a^{n}-1)}
• ∑ d ∣ n μ 2 ( d ) φ ( d ) = n φ ( n ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}}
• ∑ 1 ≤ k ≤ n ( k , n ) = 1 k = 1 2 n φ ( n )  for  n > 1 {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n){\text{ for }}n>1}
• ∑ k = 1 n φ ( k ) = 1 2 ( 1 + ∑ k = 1 n μ ( k ) ⌊ n k ⌋ 2 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)}
• ∑ k = 1 n φ ( k ) k = ∑ k = 1 n μ ( k ) k ⌊ n k ⌋ {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor }
• ∑ k = 1 n k φ ( k ) = O ( n ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)}
• ∑ k = 1 n 1 φ ( k ) = O ( log ⁡ ( n ) ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))}
• ∑ 1 ≤ k ≤ n ( k , m ) = 1 1 = n φ ( m ) m + O ( 2 ω ( m ) ) , {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,m)=1}1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+{\mathcal {O}}\left(2^{\omega (m)}\right),}

Burada m > 1 bir pozitif tam sayıdır ve ω(m) min asal sayı çarpanlarını ifade eder. (Bu formül nden küçük ve m ile aralarında asal olan doğal sayıların sayısını gösterir.)

φ {\displaystyle \varphi } fonksiyonunu içeren bazı eşitsizlikler:

φ ( n ) > n e γ log ⁡ log ⁡ n + 3 log ⁡ log ⁡ n {\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}} n > 2 için, &gamma Euler sabiti iken,

φ ( n ) ≥ n 2 {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}} n için > 0,

ve

φ ( n ) ≥ n  for  n > 6. {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n}}{\text{ for }}n>6.}

n asal sayısı için, açıkça φ ( n ) = n − 1 {\displaystyle \varphi (n)=n-1} .

n birleşik sayısı için

φ ( n ) ≤ n − n {\displaystyle \varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}} .

Rastgele büyüklükteki n için, bu sınırlar halen geliştirilememeiştir ya da daha kesin olmak gerekirse:

lim inf φ ( n ) n = 0  ve  lim sup φ ( n ) n = 1. {\displaystyle \liminf {\frac {\varphi (n)}{n}}=0{\mbox{ ve }}\limsup {\frac {\varphi (n)}{n}}=1.}

φ {\displaystyle \varphi } fonksiyonu ile σ {\displaystyle \sigma } fonksiyonunu birleştiren birkaç eşitsizlik:

6 n 2 π 2 < φ ( n ) σ ( n ) < n 2  için  n > 1. {\displaystyle {\frac {6n^{2}}{\pi ^{2}}}<\varphi (n)\sigma (n)<n^{2}{\mbox{ için }}n>1.}

Ford, her k ≥ 2 tam sayısı için φ(x) = m eşitliğinin tam olarak k sağlayanı bulunması durumunu sağlayan bir m sayısının bulunduğunu ispatladı. Ne yazık ki, k = 1 için herhangi bir m bulunamamıştır, Carmichal'ın Totient Fonksiyonu Konjektürü'ne göre, bu durumda böyle bir min varolmadığına inanılır.

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1964), Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61272-4 . See paragraph 24.3.2.

• Bach, E.; Shallit, J. (1996), Algorithmic Number Theory, 1, Cambridge, MA: MIT Press, ISBN 0-262-02405-5 . See page 234 in section 8.8.

• Ford, K. (1999), "The number of solutions of φ(x) = m", Annals of Mathematics, 150 (1), ss. 283-311, doi:10.2307/121103, 1715326 .

• Schramm, Wolfgang (2008), "The Fourier transform of functions of the greatest common divisor", Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, A50 (8(1)), 1 Mayıs 2009 tarihinde kaynağından arşivlendi29 Nisan 2009 .