Zorn lemması

Zorn lemması veya Kuratowski-Zorn lemması, seçme aksiyomuna eşdeğer bir önerme olup şunu ifade eder: Kısmî sıralanmış bir kümedeki her zincir için zincirin her elemanından daha büyük bir eleman kümede olsun. Bu durumda kümede maksimum bir eleman vardır.

R {\displaystyle R} , triviyal olmayan bir halka ve P {\displaystyle P} ise R {\displaystyle R} 'deki tüm gerçek idealleri barındıran küme olsun. O halde R {\displaystyle R} 'de maksimum bir ideal bulmak ile P {\displaystyle P} 'de maksimum bir eleman bulmak eşdeğerdir. Ek olarak R {\displaystyle R} triviyal olmadığı için ( 0 ) {\displaystyle (0)} ∈ P {\displaystyle \in P} ve P {\displaystyle P} set dahiliyetini kullanarak kısmi olarak sıralanabilir.

Zorn önsavını uygulamak için P {\displaystyle P} 'nin içinde bir zincir olarak T {\displaystyle T} tanımlansın. Eğer T {\displaystyle T} boş bir zincir ise, O halde ( 0 ) {\displaystyle (0)} ideali T {\displaystyle T} 'nin elemanları için maksimum bir idealdir. T {\displaystyle T} boş değil ise Zorn önsavına göre T {\displaystyle T} 'nin bir üst limiti olduğu gösterilmedilir. Yani öyle bir gerçek ideal I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq R} olmalı ki, T {\displaystyle T} 'nin bütün elemanları I {\displaystyle I} 'nin içinde olsun ama I ≠ R {\displaystyle I\neq R} .

Buna göre I {\displaystyle I} , T {\displaystyle T} 'deki bütün ideallerin birleşimi olsun. I {\displaystyle I} 'nin bir idealin şartlarını karşıladığını gösterilmeli. Yani:

1. I ≠ ∅ {\displaystyle I\neq \emptyset }
2. Her a , b ∈ I {\displaystyle a,b\in I} için a + b ∈ I {\displaystyle a+b\in I}
3. Her a ∈ I , r ∈ R {\displaystyle a\in I,r\in R} için r a ∈ I {\displaystyle ra\in I}

T {\displaystyle T} 'nin boş olmadığı varsayıldığı için ( 0 ) ∈ T {\displaystyle (0)\in T} ve I {\displaystyle I} ; T {\displaystyle T} 'deki bütün ideallerin birleşiminden oluştuğu için boş değildir.

I {\displaystyle I} , T {\displaystyle T} 'deki bütün ideallerin birleşiminden oluştuğu için a , b ∈ I {\displaystyle a,b\in I} için öyle iki ideal J , K {\displaystyle J,K} vardır ki a ∈ J , b ∈ K . {\displaystyle a\in J,b\in K.} Fakat T {\displaystyle T} bir zincir olup tam sıralı olduğundan ötürü ya J ⊆ K {\displaystyle J\subseteq K} veya K ⊆ J {\displaystyle K\subseteq J} geçerlidir. Birinci senaryoda a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} varsayılabilir ancak K {\displaystyle K} halihazırda bir ideal olmasından ötürü tanımı gereği a + b ∈ K ⊆ I . {\displaystyle a+b\in K\subseteq I.} İkinci senaryoda ise aynı argüman J {\displaystyle J} için kullanılabilir.

a ∈ I {\displaystyle a\in I} ise öyle bir ideal J ⊆ I {\displaystyle J\subseteq I} vardır ki a ∈ J {\displaystyle a\in J} . J {\displaystyle J} bir ideal olmasından ötürü yapısı gereği her r ∈ R {\displaystyle r\in R} için r a ∈ J ⊆ I {\displaystyle ra\in J\subseteq I} sağlanmaktadır.

Son olarak I {\displaystyle I} 'nin gerçek bir ideal olduğu teyit edilmeli. I {\displaystyle I} , gerçek bir ideal değil ise I = R {\displaystyle I=R} ve 3. şarttan ötürü 1 ∈ I {\displaystyle 1\in I} . Ancak 1 ∈ I {\displaystyle 1\in I} doğru ise T {\displaystyle T} 'nin içinde öyle bir ideal J {\displaystyle J} vardır ki 1 ∈ J {\displaystyle 1\in J} yani J = R {\displaystyle J=R} . Fakat P {\displaystyle P} 'nin tanımında R {\displaystyle R} idealı kümenin dışında tutulmuştur ve bu sebepten T {\displaystyle T} zincirinin de bir parçası olamaz. Dolayısıyla I ≠ R {\displaystyle I\neq R} .

Zorn Lemmasının şartlarının sağlanmasından ötürü P {\displaystyle P} 'de maksimum bir eleman olduğu çıkarılabilir. Başka bir deyişle R {\displaystyle R} 'de maksimal bir ideal vardır.