Geometride, elips (Yunanca ἔλλειψις elleipsis kelimesinden) bir koninin bir düzlem tarafından kesilmesi ile elde edilen düzlemsel, ikinci dereceden, kapalı eğridir.
| Geometri |
|---|
 |
| Geometriciler |
Tanım
Elips, bir düzlemde verilen iki noktaya (F1, F2) uzaklıkları toplamı sâbit olan noktaların geometrik yeridir; verilen bu iki noktaya elipsin odakları denir. Odaklarının arasındaki uzunluğa 2c dersek ortadaki nokta elipsin merkez noktasıdır. Şekildeki elipsin 2a asal, 2b ise yedek eksenidir. Aynı zamanda c² + b² = a²'dir. Şekilde de görüldüğü gibi b ve F1 ile merkez arasındaki doğru parçası, yani c dik kenarlar, a ise hipotenüs´dür.
Denklemi
Elips, sabit bir noktaya ve verilen bir doğruya uzaklıkları oranı birden küçük bir sayıya eşit olan noktalarının geometrik yeridir. Denklemi
- x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
olarak bulunur.
Merkezi (h, k) noktasında bulunan bir elipsin eşitliği de:
- ( x − h ) 2 a 2 + ( y − k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1}
şeklinde verilebilir.
Parametresi
Şekilde p ile gösterilen uzunluğun iki katı yani b ye paralel odaktan geçen kirişin uzunluğu 2p´yi bulmak için şu denklemi kullanabiliriz:
2 b 2 a = 2 p {\displaystyle {\frac {2b^{2}}{a}}=2p}
Herhangi Bir Noktadan Elipse Çizilen Teğetin Denklemi
( x − h ) 2 a 2 + ( y − k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1} denklemli bir elipsin herhangi bir P(m;n) noktasıdan geçen teğetin denklemi ( n − k ) . y b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(n-k).y}{b^{2}}}=1} ´dir.
Üzerindeki Herhangi Bir Noktanın Elipsin Merkezine Uzaklığı
Elipsin merkezinden elips üzerindeki bir noktaya çizilen ve X ekseniyle arasındaki açı α olan bir doğrunun uzunluğu a 2 ⋅ b 2 b 2 + ( a 2 − b 2 ) ⋅ sin α {\displaystyle {\sqrt {\frac {a^{2}\cdot b^{2}}{b^{2}+(a^{2}-b^{2})\cdot \sin {\boldsymbol {\alpha }}}}}} veya a 2 ⋅ b 2 a 2 − ( a 2 − b 2 ) ⋅ cos α {\displaystyle {\sqrt {\frac {a^{2}\cdot b^{2}}{a^{2}-(a^{2}-b^{2})\cdot \cos {\boldsymbol {\alpha }}}}}} formülü ile hesaplanır.
Basıklığı
Asal eksen uzunluğuyla yedek eksen uzunluğunun farkının asal eksen uzunluğuna oranına elipsin basıklığı denir.
- 2 a − 2 b 2 a = 2 ( a − b ) 2 a {\displaystyle {\frac {2a-2b}{2a}}={\frac {2(a-b)}{2a}}}
- a − b a = 1 − b a {\displaystyle {\frac {a-b}{a}}=1-{\frac {b}{a}}}
Dış merkezliği
Elipste, odaklar arasındaki uzaklığın asal eksen uzunluğuna oranına elipsin dış merkezliği (eccentricity) denir ve e ile gösterilir:
- 2 c 2 a = c a {\displaystyle {\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}}} = e {\displaystyle {\frac {}{}}=e}