0,999...

0 , 9 _ {\displaystyle 0{,}{\underline {9}}} , 0 , 9 ¯ {\displaystyle 0{,}{\bar {9}}} veya 0 , 9 ˙ {\displaystyle 0{,}{\dot {9}}} şekillerinde gösterilen ve 1'e eşit olan matematiksel ifade.

Her rasyonel ifade sonlu sayıda rakam barındıran ondalık sayılarla ifade edilemez. Mesela;

5 9 = 0 , 5 ¯ {\displaystyle {\frac {5}{9}}=0{,}{\bar {5}}}

1 3 = 0 , 3 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{3}}=0{,}{\bar {3}}} gibi. Eğer ikinci eşitliğin her iki tarafını 3 ile çarpacak olursak

3 3 = 3 × 0 , 3 ¯ {\displaystyle {\frac {3}{3}}=3\times 0{,}{\bar {3}}}

1 = 0 , 9 ¯ {\displaystyle 1=0{,}{\bar {9}}} elde ederiz.

0,9 sayımıza matematik dilinde bilinmeyen ifadelere verilen x diyelim.

x = 0 , 9 ¯ {\displaystyle x=0{,}{\bar {9}}}

Her iki tarafı 10 ile çarpalım.

10 x = 9 , 9 ¯ {\displaystyle 10x=9{,}{\bar {9}}}

Her iki taraftan sayının kendisini, yani x i çıkaralım

9 x = 10 x − x = 9 , 9 ¯ − 0 , 9 ¯ = 9 {\displaystyle 9x=10x-x=9{,}{\bar {9}}-0{,}{\bar {9}}=9}

Sadeleştirelim.

x = 1 _ {\displaystyle x=1{\underline {}}}

Sayımızı limit dilinde ifade edelim:

0 , 9 ¯ … = lim n → ∞ 0 , 99 … 9 ⏟ n = lim n → ∞ ∑ k = 1 n 9 10 k = lim n → ∞ ( 1 − 1 10 n ) {\displaystyle 0{,}{\bar {9}}\ldots =\lim _{n\to \infty }0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)}

n sonsuza giderken 1 10 n {\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}} ifadesi 0'a eşittir. Dolayısıyla;

= 1 − lim n → ∞ 1 10 n = 1 {\displaystyle =1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,} dir.

Teorem: | r | < 1 {\displaystyle |r|<1} ve a sabit sayı olmak üzere a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ = a r 1 − r {\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}} dir.

Genel terimi r = 1 10 {\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}} ve sabit sayısı 9 olan seri 0, (9)dur. Teorimizi sayımıza uygularsak

0 , 9 ¯ … = 9 ( 1 10 ) + 9 ( 1 10 ) 2 + 9 ( 1 10 ) 3 + ⋯ = 9 ( 1 10 ) 1 − 1 10 = 1. {\displaystyle 0{,}{\bar {9}}\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,} olduğunu görebiliriz.

• Apostol, Tom M. (1974). Mathematical Analysis (2e bas.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1. 
• Stillwell, John (1994), Elements of Algebra: Geometry, Numbers, Equations, Springer, ISBN 9783540942900 

Wikimedia Commons'ta 0,999... ile ilgili ortam dosyaları mevcuttur.

• Why does 0.9999… = 1 ? (İng. neden 0.(9)=1 ?13 Kasım 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.