Dini testi

Matematikte Dini ve Dini-Lipschitz testleri, bir fonksiyonun Fourier serisinin bir noktada yakınsadığını kanıtlamak için kullanılabilen oldukça kesin testlerdir. Bu testler, Ulisse Dini ve Rudolf Lipschitz'in arkasından isimlendirilmiştir.

f, [0,2π] üzerinde bir fonksiyon, t bir nokta ve δ, bir pozitif sayı olsun. t 'deki yerel süreklilik modülüsü

ω f ( δ ; t ) = max | ε | ≤ δ | f ( t ) − f ( t + ε ) | {\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|}

ile tanımlanır. f burada periyodik bir fonksiyondur; yani t = 0 ise ve ε negatifse, o zaman şöyle tanımlarız: f(ε) = f(2π + ε).

Global sürekliklilik modülüsü (veya basitçe süreklilik modülüsü) ise

ω f ( δ ) = max t ω f ( δ ; t ) {\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t)}

ile tanımlanır. Bu tanımlarla esas sonuçları ifade edebiliriz.

Teeorem (Dini testi): Bir f fonksiyonu bir t noktasında

∫ 0 π 1 δ ω f ( δ ; t ) d δ < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,d\delta <\infty }

eşitsizliğini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi t 'de f(t) 'ye yakınsar.

Örneğin, teorem ω f = log − 2 ⁡ ( δ − 1 ) {\displaystyle \omega _{f}=\log ^{-2}(\delta ^{-1})} iken tutar ama log − 1 ⁡ ( δ − 1 ) {\displaystyle \log ^{-1}(\delta ^{-1})} iken tutmaz.

Teorem (Dini-Lipschitz testi): Bir f fonksiyonu

ω f ( δ ) = o ( log ⁡ 1 δ ) − 1 {\displaystyle \omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}}

ifadesini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi düzgün bir şekilde f 'ye yakınsar.

Özelde, Hölder sınıfında yer alan herhangi bir fonksiyon Dini-Lipschitz testini sağlar.

Her iki test de kendi türlerinin en iyisidir. Dini-Lipschitz testi için, süreklilik modülüsü testini o yerine O ile sağlayan bir f fonksiyonu inşa etmek mümkündür; yani

ω f ( δ ) = O ( log ⁡ 1 δ ) − 1 {\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}}

olacak ve f 'nin serisi ıraksayacak şekilde. Dini testi, kesinlik ifadesi ise biraz daha uzundur. Şunu ifade eder:

∫ 0 π 1 δ Ω ( δ ) d δ = ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,d\delta =\infty }

olan herhangi bir Ω fonksiyonu için bir f fonksiyonu vardır öyle ki

ω f ( δ ; 0 ) < Ω ( δ ) {\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta )}

ve f 'nin Fourier serisi 0'da ıraksar.

• Fourier serilerinin yakınsaklığı.