Devrik matris

Matematiğin bir alt dalı olan doğrusal cebirde, bir A {\displaystyle A} matrisinin devriği ya da transpozu bu matrisin satırları ile sütunları karşılıklı yer değiştirilmesiyle elde edilen matrise denilir. Devriği alınmış bir matrise devrik matris denilir. Bir A {\displaystyle A} matrisinin devriği genellikle transpoz karşılığından hareketle A t {\displaystyle A^{t}} şeklinde ifade edilir; ancak, kullanılan diğer gösterimler arasında A ′ {\displaystyle A^{'}} , A t r {\displaystyle A^{tr}} ve A T {\displaystyle A^{T}} de vardır. Bir matrisin devriği aşağıdaki biçimlerde elde edilebilir:

• A {\displaystyle A} matrisinin ana köşegene göre yansıması alınarak A t {\displaystyle A^{t}} elde edilir,
• A {\displaystyle A} matrisinin satırları A t {\displaystyle A^{t}} matrisinin sütünları olarak yazılarak elde edilir,
• A {\displaystyle A} matrisinin sütünları A t {\displaystyle A^{t}} matrisinin satırları olarak yazılarak elde edilir.

A t {\displaystyle A^{t}} matrisinin ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} ögesi A {\displaystyle A} matrisinin ( j , i ) {\displaystyle (j,i)} ile gösterilen ögesine eşittir:

[ A T ] i j = [ A ] j i {\displaystyle [A^{T}]_{ij}=[A]_{ji}}

Eğer A {\displaystyle A} matrisi m × n {\displaystyle m\times n} bir matris ise A t {\displaystyle A^{t}} matrisi b × m {\displaystyle b\times m} bir matristir. Bir sayılın (skaler) devriği yine o sayıldır.

• [ 1 2 ] T = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}

• [ 1 2 3 4 ] T = [ 1 3 2 4 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}.}

• [ 1 2 3 4 5 6 ] T = [ 1 3 5 2 4 6 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}.\;}

A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} matrisleri ve c {\displaystyle c} sayılı için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

1. ( A T ) T = A {\displaystyle (A^{T})^{T}=A\quad \,}

   Bir matrisin devriğinin devriği kendisidir.

2. ( A + B ) T = A T + B T {\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\,}

   Toplama işlemine göre yukardaki gibi dağıtılabilir.

3. ( A B ) T = B T A T {\displaystyle \left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}\,}

   Matris çarpımının devriği yukardaki gibidir; matrislerin çarpımının sırası değişir ve iki matrisin de devriği alınır. Matris çarpımında sıra değişikliğine dikkat edilmesi gereklidir.

4. ( c A ) T = c A T {\displaystyle (cA)^{T}=cA^{T}\,}

   Sayıl ile matris çarpımının devriği alınırken sayıl olduğu gibi bırakılır ve matrisin devriği alınır. Sayılın devriği kendisine eşittir ve matris ile sayıl çarpılırken çarpımın sırası önemli değildir.

5. det ( A T ) = det ( A ) {\displaystyle \det(A^{T})=\det(A)\,}

   Kare bir matris için matrisin determinantı ile o matrisin devriğinin determinantı aynıdır.

6. İki a {\displaystyle a} ve b {\displaystyle b} vektörünün, nokta çarpımı aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

   a ⋅ b = a T b {\displaystyle a\cdot b=a^{T}b}

   Bu çarpımda a i b i {\displaystyle a_{i}b^{i}} şeklinde Einstein gösterimi kullanılarak yazılabilir. Burada i {\displaystyle i} alt imi ve i {\displaystyle i} üst iminin aynı olması i {\displaystyle i} üzerinden toplama yapılacağı manasına gelmektedir.
7. ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {\displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}\,}

   Tersi alınabilir bir matrisin devriğinin de tersi alınabilir. Yukarıdaki A {\displaystyle A} matrisinin devriğinin tersi ile tersinin devriği birbirine eşittir. Herhangi bir matrisin tersinin devriğinin tersi kendisine eşittir. A − T {\displaystyle A^{-T}} şeklinde yazım yukardaki eşitlikteki sağ veya sol taraftaki terimlerden herhangi birini ifade etmek için kullanılır.

8. Eğer A {\displaystyle A} kare bir matris ise bu matrisin özdeğerleri ile devriklerinin özdeğerleri birbirine eşittir.