Bileşke fonksiyon

Bileşke fonksiyon, matematikte bir işlevdir.

$f {\displaystyle f}$ , $X {\displaystyle X}$ kümesinden $Y {\displaystyle Y}$ kümesine giden bir fonksiyonsa, $g {\displaystyle g}$ de $Y {\displaystyle Y}$ kümesinden $Z {\displaystyle Z}$ kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman $g ∘ f {\displaystyle g\circ f}$ fonksiyonunu her $x ∈ X {\displaystyle x\in X}$ için,

( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) {\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}

kuralıyla tanımlanan $X {\displaystyle X}$ kümesinden $Z {\displaystyle Z}$ kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona $g {\displaystyle g}$ ve $f {\displaystyle f}$ fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.

Başka bir deyişle, bileşke

f : X ⟶ Y {\displaystyle f:X\longrightarrow Y}

ve

g : Y ⟶ Z {\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}

fonksiyonlarından

g ∘ f : X ⟶ Z {\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}

fonksiyonunu üretir.

$g {\displaystyle g}$ ve $f {\displaystyle f}$ fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için $f {\displaystyle f}$ fonksiyonunun değer kümesi, $g {\displaystyle g}$ fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.

Eğer $f {\displaystyle f}$ , $X {\displaystyle X}$ kümesinden $Y {\displaystyle Y}$ kümesine, $g {\displaystyle g}$ de $Y {\displaystyle Y}$ kümesinden $X {\displaystyle X}$ kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem $g ∘ f : X ⟶ X {\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow X}$ fonksiyonundan hem de $f ∘ g : Y ⟶ Y {\displaystyle f\circ g:Y\longrightarrow Y}$ fonksiyonundan söz edilebilir.

Bileşke, $X {\displaystyle X}$ 'ten $X {\displaystyle X}$ 'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk $( X , X ) {\displaystyle (X,\;X)}$ kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id $X {\displaystyle _{X}}$ , bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk $( X , X ) {\displaystyle (X,\;X)}$ kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Özellikleri

$X = Y = Z = R {\displaystyle X=Y=Z=R}$ (gerçek sayılar kümesi) olsun. $f {\displaystyle f}$ fonksiyonu $f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ve $g {\displaystyle g}$ fonksiyonu $g ( x ) = x + 1 {\displaystyle g(x)=x+1}$ olarak tanımlansın. O zaman,

( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( x + 1 ) = ( x + 1 ) 2 {\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^{2}}

dir. Ancak

( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( x 2 ) = x 2 + 1 {\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2})=x^{2}+1}

dir. Demek ki

f ∘ g ≠ g ∘ f {\displaystyle f\circ g\neq g\circ f}

,

yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.

X , Y , Z , T {\displaystyle X,\,Y,\,Z,\,T}

dört küme olsun.

f : X ⟶ Y {\displaystyle f:X\longrightarrow Y}

,

g : Y ⟶ Z {\displaystyle g:Y\longrightarrow Z}

,

h : Z ⟶ T {\displaystyle h:Z\longrightarrow T}

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:

g ∘ f : X ⟶ Z {\displaystyle g\circ f:X\longrightarrow Z}

,

h ∘ ( g ∘ f ) : X ⟶ T {\displaystyle h\circ (g\circ f):X\longrightarrow T}

,

h ∘ g : Y ⟶ T {\displaystyle h\circ g:Y\longrightarrow T}

,

( h ∘ g ) ∘ f : X ⟶ T {\displaystyle (h\circ g)\circ f:X\longrightarrow T}

.

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

( h ∘ g ) ∘ f = h ∘ ( g ∘ f ) {\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}

eşitliği geçerlidir. $X {\displaystyle X}$ kümesinden herhangi bir $x {\displaystyle x}$ elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu $x {\displaystyle x}$ elemanında değerlendirilirse

( ( h ∘ g ) ∘ f ) ( x ) = ( h ∘ g ) ( f ( x ) ) = h ( g ( f ( x ) ) ) {\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))}

ve

( h ∘ ( g ∘ f ) ) ( x ) = h ( ( g ∘ f ) ( x ) ) = h ( g ( f ( x ) ) ) . {\displaystyle (h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).}

eşitliklerine ulaşılır.

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani

( ( h ∘ g ) ∘ f ) ( x ) = ( h ∘ ( g ∘ f ) ) ( x ) {\displaystyle ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)}

.

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani $( h ∘ g ) ∘ f = h ∘ ( g ∘ f ) {\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)}$ eşitliği çıkar.