Özdeğerler ve özvektörler

Matematikte, bir lineer transformasyon altında yönünü değiştirmeyen vektörlere özvektör denir. Resmen tanımlamak gerekirse, v {\displaystyle {\mathbf {v}}} bir vektörse ve Φ {\displaystyle \Phi } bir lineer dönüşümse, bir λ {\displaystyle \lambda } skaleri için Φ ( v ) = λ v {\displaystyle \Phi (\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} } eşitliğini sağlayan tüm v {\displaystyle {\mathbf {v}}} vektörlerine Φ {\displaystyle \Phi } 'nin özvektörü ve λ {\displaystyle \lambda } skalerine de Φ {\displaystyle \Phi } 'nin özdeğeri denir.

Lineer dönüşümler vektörleri döndürerek, yansıtarak veya bükerek etkileyebilirler. Ancak v {\displaystyle {\mathbf {v}}} bu dönüşümün bir özvektörüyse, v {\displaystyle {\mathbf {v}}} bu dönüşümden sadece boyca uzayarak, kısalarak veya doğrultusunu değiştirmeden yönünü değiştirerek etkilenir. Boyca uzama veya kısama miktarı ise bu dönüşümün özdeğerine tekabül eder. Eğer vektör doğrultusunu koruyarak yönünü ters çeviriyorsa, sözkonusu özdeğer negatif demektir.

Lineer dönüşümler özdeğerlerine ve özvektörlerine bakarak sınıflandırıldığından özvektörler ve özdeğerler; jeoloji, finans ve kuantum mekaniği gibi alanlarda kullanılır.

A {\displaystyle A} , n × n {\displaystyle n\times n} 'lik bir matris olsun, v {\displaystyle {\mathbf {v}}} de n {\displaystyle n} uzunluğunda 0 {\displaystyle \mathbf {0} } dışında bir vektör olsun. Eğer v {\displaystyle {\mathbf {v}}} 'yi A {\displaystyle A} ile çarpmak, v {\displaystyle {\mathbf {v}}} 'nin sadece bir λ {\displaystyle \lambda } skaleri kadar uzamasına sebep oluyorsa, v {\displaystyle {\mathbf {v}}} 'ye A {\displaystyle A} 'nın bir özvektörü ve λ {\displaystyle \lambda } 'ya da A {\displaystyle A} 'nın bir özdeğeri denir. Bu ilişki, matematiksel olarak A v = λ v {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} } şeklinde gösterilebilir.

Bir taban seçimiyle herhangi bir sonlu boyutlu K {\displaystyle \mathbb {K} } vektör uzayı V {\displaystyle V} 'den K n {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}} 'e bir izomorfizma elde etmek mümkündür, bu durumda her Φ {\displaystyle \Phi } lineer dönüşümünün de K n × n {\displaystyle \mathbb {K} ^{n\times n}} 'lik bir matris tarafından temsilcisi de elde edilir. Dolayısıyla sonlu boyutlu vektör uzaylarında özvektörlerin matris tanımıyla cebirsel tanımı aynı kapıya çıkmaktadır. Ancak sonsuz boyutlu vektör uzaylarının analizinde matrisler anlamlarını yitirdiğinden, özvektörleri cebirsel bir şekilde tanımlamak gerekir.

Bu şekilde, herhangi bir K {\displaystyle \mathbb {K} } vektör uzayı V {\displaystyle V} üzerinde tanımlı bir Φ {\displaystyle \Phi } lineer dönüşümü için, Φ ( v ) = λ v {\displaystyle \Phi (\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} } eşitliğini sağlayan her v ∈ V ∖ { 0 } {\displaystyle {\mathbf {v}}\in V\setminus \{\mathbf {0} \}} vektörüne bir özvektör ve her λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } skalerine de bir özdeğer denir. Aynı özdeğeri paylaşan iki özvektörün toplamı ve bir özvektörün katları da yine aynı özdeğere sahip bir özvektör oluşturduğundan, 0 {\displaystyle \mathbf {0} } ile birlikte bir özdeğere ait özvektörler V {\displaystyle V} 'nin bir altuzayını teşkil eder ve bu altuzaya λ {\displaystyle \lambda } 'nın özuzayı ismi verilir ve bu altuzay V λ ( Φ ) {\displaystyle V_{\lambda }(\Phi )} ile gösterilir.

İngilizce ve birçok kuzey avrupa dilinde özvektör kavramı, Almancadaki Eigenvektor, Eigenwert ve Eigenraum terimlerinin çevirileriyle anılır. İlk katı cisimlerin temel eksenlerini analiz ederken araştırılan bu kavram, daha sonra tüm lineer dönüşümlerin sınıflandırılmasında kullanılacak şekilde genişletilmiş ve bu şekilde dizilerin analizinde, diferansiyel denklemlerde, kuantum fiziğinde ve hatta yüz tanıma ve yapay zekâ gibi bilişim alanlarında kullanım bulmuştur.

Temelinde bir özvektör, bir Φ {\displaystyle \Phi } lineer dönüşümünde doğrultusunu değiştirmeyen sıfırdan farklı bir vektördür. Φ ( v ) = λ v {\displaystyle \Phi (\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} } denklemine ise özvektör denklemi ismi verilir. λ {\displaystyle \lambda } özdeğeri ise pozitif olabilir, negatif olabilir, sıfır olabilir ve hatta v {\displaystyle {\mathbf {v}}} bir karmaşık vektör uzayından geliyorsa karmaşık bir sayı bile olabilir.

Yandaki örnekte Mona Lisa resmi, bir lineer dönüşüme maruz kalmaktadır. Vektörler, dikey y eksenindeki konumlarına oranla x ekseninde hareket etmektedir ve daha uzak vektörler daha da uzağa itilmektedir. Bununla beraber, pozitif y koordinatlarındaki vektörler sağa oynarken negatif y koordinatlarındaki vektörler sola oynatılmaktadır. Bu vektörlerin hiçbiri başlangıçtaki hâlleriyle aynı doğrultuda kalmadığından hiçbiri bir özvektör değildir. Ancak y kordinatı 0 olan, yani doğrudan sağa veya sağa bakan vektörler bu değişim altında hiç kıpırdamadığından bu değişimin özvektörlerini teşkil eder ve özdeğerleri de 1'dir. Bu şekilde bu lineer değişimin yegâne özdeğeri 1'dir ve bu değere ait özuzay ise x eksenidir.

Lineer dönüşümler bir sürü ayrı şekil alabildiğinden özvektörler ve özuzaylar da bir sürü farklı şekil alabilir. Mesela türev alma işlemini de bir lineer dönüşüm olarak incelemek mümkündür, çünkü türev de toplama ve skaler çarpma işlemine saygı gösterir. Bu durumda söz konusu vektör uzayı, C ∞ ( C ) {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {C} )} ile gösterdiğimiz sonsuz kere türevlenebilir fonksiyonların uzayı olup, sonsuz boyutlu bir vektör uzayı teşkil eder. Bu durumda d d x {\textstyle {\frac {d}{dx}}} operatörünün özvektörleri, bir λ {\displaystyle \lambda } skaleri ile çarpılan fonksiyonlardır, mesela d d x e λ x = λ e λ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}} fonksiyonu.

Matris dilinde örnek vermek gerekirse de, mesela A {\displaystyle A} ve v {\displaystyle {\mathbf {v}}} şu şekilde tanımlanmış olsun: A = ( 2 − 1 2 0 1 2 1 0 3 ) ; v = ( − 1 2 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&-1&2\\0&1&2\\1&0&3\end{pmatrix}};\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}} O zaman, v {\displaystyle {\mathbf {v}}} A {\displaystyle A} 'nın bir özvektörüdür çünkü A v = ( 2 − 1 2 0 1 2 1 0 3 ) ( − 1 2 1 ) = ( − 2 4 2 ) = 2 ( − 1 2 1 ) = 2 v {\displaystyle A\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}2&-1&2\\0&1&2\\1&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\4\\2\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}=2\mathbf {v} } ilişkisi geçerlidir ve 2 de A {\displaystyle A} 'nın bir özdeğeridir. Matrisler, özvektörler sayesinde incelenebilir, mesela çaprazlayarak.

Özvektörler ile oluşturulan birtakım yapı, yine öz- takısını kullanarak anılır:

• 0 ve bir değere ait özvektörlerden oluşan altuzaya, o özdeğerin özuzayı ismi verilir.
• Özvektörlerden oluşan bir tabana öztaban ismi verilir. Bir lineer dönüşüme öztabanda tekabül eden bir matris, her zaman çapraz bir formda olur.

Verilen bir matrisin özvektörleri ve özdeğerleri, A v = λ v {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} } özelliğinin sağlanmasını isteyerek bulunuyordu. Bunu yazmanın başka bir yolu şudur: 0 = A v − λ v = A v − λ I d ⋅ v = ( A − λ I d ) v {\displaystyle \mathbf {0} =A\mathbf {v} -\lambda \mathbf {v} =A\mathbf {v} -\lambda \mathrm {Id} \cdot \mathbf {v} =(A-\lambda \mathrm {Id} )\mathbf {v} } Burada I d {\displaystyle \mathrm {Id} } ile kasıt, birim matristir. Kısaca beklenilen şey, A − λ I d {\displaystyle A-\lambda \mathrm {Id} } ile verilen bir matris ile sıfır olmayan bir vektörün çarpımının sıfır olmasıdır. Bunun olmasının tek yolu A − λ I d {\displaystyle A-\lambda \mathrm {Id} } matrisinin tersinir olmaması olduğundan, A − λ I d {\displaystyle A-\lambda \mathrm {Id} } matrisinin determinantı 0 olmak zorundadır. Yani, bir matrisin özdeğerlerini 0 = det ( A − λ I d ) {\displaystyle 0=\det(A-\lambda \mathrm {Id} )} şartını kullanarak bulabiliriz.

det ( A − λ I d ) {\displaystyle \det(A-\lambda \mathrm {Id} )} bize λ {\displaystyle \lambda } cinsinden bir polinom verir ve bu polinoma karakteristik polinom ismi verilir. A {\displaystyle A} 'nın boyutu n × n {\displaystyle n\times n} ise det ( A − λ I d ) {\displaystyle \det(A-\lambda \mathrm {Id} )} de n {\displaystyle n} 'inci dereceden olcağından bu polinomun en fazla n {\displaystyle n} kökü bulunabilir. Bunun sonucunda n × n {\displaystyle n\times n} 'lik bir matrisin en fazla n {\displaystyle n} özdeğeri olabilir. Bu makalede A {\displaystyle A} matrisinin karakteristik polinomu χ A ( λ ) {\displaystyle \chi _{A}(\lambda )} şeklinde gösterilecektir.

λ {\displaystyle \lambda } , A {\displaystyle A} 'nın bir özdeğeri olsun. Eğer λ {\displaystyle \lambda } , χ A {\displaystyle \chi _{A}} 'nın k {\displaystyle k} katlı bir köküyse k {\displaystyle k} 'ya λ {\displaystyle \lambda } 'nın cebirsel katı denir. Eğer A {\displaystyle A} , karmaşık sayılar gibi cebirsel kapalı bir cisim üzerinde tanımlıysa χ A {\displaystyle \chi _{A}} doğrusal terimlerin çarpımı şeklinde yazılabilir ve şu şekli alır: χ A ( λ ) = ( λ 1 − λ ) k 1 ( λ 2 − λ ) k 2 ( λ 3 − λ ) k 3 ( λ 4 − λ ) k 4 . . . {\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=(\lambda _{1}-\lambda )^{k_{1}}(\lambda _{2}-\lambda )^{k_{2}}(\lambda _{3}-\lambda )^{k_{3}}(\lambda _{4}-\lambda )^{k_{4}}...} ve k i {\displaystyle k_{i}} 'lerin toplamı n {\displaystyle n} 'i verir.

0 = ( A − λ I d ) v {\displaystyle \mathbf {0} =(A-\lambda \mathrm {Id} )\mathbf {v} } şartının sağlanması için 0 = det ( A − λ I d ) {\displaystyle 0=\det(A-\lambda \mathrm {Id} )} olması yetmez. Aynı zamanda v {\displaystyle \mathbf {v} } , A − λ I d {\displaystyle A-\lambda \mathrm {Id} } 'in çekirdeğinde olmalıdır. O zaman A {\displaystyle A} 'nın λ {\displaystyle \lambda } özdeğerli özvektörlerinin, aynı zamanda ker ⁡ ( A − λ I d ) {\displaystyle \ker(A-\lambda \mathrm {Id} )} 'in içinde olmalıdır. Bu durumda 0 = ( A − λ I d ) v {\displaystyle \mathbf {0} =(A-\lambda \mathrm {Id} )\mathbf {v} } şartı sağlanır ve özuzay V λ ( A ) {\displaystyle V_{\lambda }(A)} , V λ ( A ) = ker ⁡ ( A − λ I d ) {\displaystyle V_{\lambda }(A)=\ker(A-\lambda \mathrm {Id} )} denkleminden hesaplanabilir. V λ ( A ) {\displaystyle V_{\lambda }(A)} 'nın boyutuna λ {\displaystyle \lambda } 'nın geometrik katı denir. Bir özdeğerin geometrik katı hiçbir zaman cebirsel katından büyük olamaz, ancak eşit olmak zorunda değildir, küçük de olabilir. Eğer bir matrisin tüm özdeğerlerin geometrik katı, cebirsel katına eşitse, bu matrise çaprazlanabilir bir matris denir ve tüm özuzaylara bir taban bularak matris, çapraz bir forma getirilebilir.

A {\displaystyle A} , karmaşık sayılar üzerinde tanımlı n × n {\displaystyle n\times n} ̈lik bir matris olsun ve özdeğerleri λ 1 , λ 2 , . . . λ n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n}} olsun. Bu listede her özdeğeri cebirsel katı kadar yazmış olalım, yani λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} k {\displaystyle k} katlı bir kökse λ 1 = λ 2 = . . . = λ k {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=...=\lambda _{k}} şeklinde yazalım.

• t r ( A ) {\displaystyle \mathrm {tr} (A)} ile gösterilen A {\displaystyle A} 'nın izi, t r ( A ) = λ 1 + λ 2 + . . . λ n {\displaystyle \mathrm {tr} (A)=\lambda _{1}+\lambda _{2}+...\lambda _{n}} şeklinde özdeğerlerin toplamına eşittir.
• det ( A ) {\displaystyle \det(A)} ile gösterilen A {\displaystyle A} 'nın determinantı, det ( A ) = λ 1 ⋅ λ 2 ⋅ . . . ⋅ λ n {\displaystyle \det(A)=\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot ...\cdot \lambda _{n}} şeklinde özdeğerlerin çarpımına eşittir.
• Tersinir bir matrisin tüm özdeğerleri 0'dan farklıdır. Tersinir olmayan bir matrisin özdeğerlerinden birisi 0'a eşittir.
• A k {\displaystyle A^{k}} 'nın özdeğerleri, λ 1 k , λ 2 k , . . . λ n k {\displaystyle \lambda _{1}^{k},\lambda _{2}^{k},...\lambda _{n}^{k}} olur.
• Daha genel olarak P {\displaystyle P} bir polinomsa, P ( A ) {\displaystyle P(A)} 'nın özdeğerleri P ( λ 1 ) , P ( λ 2 ) , . . . P ( λ n ) {\displaystyle P(\lambda _{1}),P(\lambda _{2}),...P(\lambda _{n})} olur.
• Eğer A {\displaystyle A} tersinirse A − 1 {\displaystyle A^{-1}} 'in özdeğerleri 1 λ 1 , 1 λ 2 , . . . 1 λ n {\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},{\frac {1}{\lambda _{2}}},...{\frac {1}{\lambda _{n}}}} olur ve özdeğerlerinin hem cebirsel hem de geometrik katı A {\displaystyle A} 'nınkilerle aynı olur.
• A {\displaystyle A} 'nın girdilerinin eşleniğinden oluşan A ¯ {\textstyle {\bar {A}}} 'ın özdeğerleri λ ¯ 1 , λ ¯ 2 , . . . λ ¯ n {\textstyle {\bar {\lambda }}_{1},{\bar {\lambda }}_{2},...{\bar {\lambda }}_{n}} olur.
• A {\displaystyle A} 'nın transpozu A T {\displaystyle A^{T}} 'nin özdeğerleri, A {\displaystyle A} ile aynıdır.
• Eğer A {\displaystyle A} , transpozunun eşleniğine eşitse λ 1 , λ 2 , . . . λ n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...\lambda _{n}} özdeğerlerinin hepsi reeldir.
• Eğer A {\displaystyle A} üniterse, yani A {\displaystyle A} 'nın eşleniğinin transpozu A − 1 {\displaystyle A^{-1}} 'e eşitse her özdeğerin mutlak değeri 1'e eşittir.

Mesela A = ( 1 − 1 3 5 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&-1\\3&5\end{pmatrix}}} şeklinde verilmiş olsun. O zaman χ A {\displaystyle \chi _{A}} , χ A ( λ ) = det ( A − λ I d ) = | 1 − λ − 1 3 5 − λ | = ( 1 − λ ) ( 5 − λ ) + 3 = λ 2 − 6 λ + 8 = ( λ − 4 ) ( λ − 2 ) {\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=\det(A-\lambda \mathrm {Id} )={\begin{vmatrix}1-\lambda &-1\\3&5-\lambda \end{vmatrix}}=(1-\lambda )(5-\lambda )+3=\lambda ^{2}-6\lambda +8=(\lambda -4)(\lambda -2)} şeklinde bulunur ve kökleri 4 ve 2'den oluşur. Yani A {\displaystyle A} 'nın özdeğerleri 4 ve 2 olarak tespit edilebilir. Eğer A {\displaystyle A} 'nın mesela 2'ye ait özuzayını da bulmak istiyorsak, V 2 ( A ) = ker ⁡ ( A − 2 I d ) = ker ⁡ ( − 1 − 1 3 3 ) = ker ⁡ ( − 1 − 1 0 0 ) = ⟨ ( 1 − 1 ) ⟩ {\displaystyle V_{2}(A)=\ker(A-2\mathrm {Id} )=\ker {\begin{pmatrix}-1&-1\\3&3\end{pmatrix}}=\ker {\begin{pmatrix}-1&-1\\0&0\end{pmatrix}}={\biggl \langle }{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}{\biggr \rangle }} şeklinde bulunabilir. 4'ün özuzayı da benzer şekilde hesaplanır. İki özuzayın da hem cebirsel, hem de geometrik katı 1'dir.