Cebirsel yapı

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar Altgrup Normal altgrup Grup etkisi Bölüm grubu (Yarı-) dolaysız çarpım Dolaysız toplam Serbest çarpım Çelenk çarpımı Grup homomorfizmleri çekirdek görüntü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal toplamsal devirli abel dihedral nilpotent çözülebilir Grup teorisi sözlüğü Grup teorisi konuları listesi
Sonlu gruplar Devirli grup Zn Simetrik grup Sn Almaşık grup An Dihedral grup Dn Kuaterniyon grup Q Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p-grubu Elementer abel grubu Frobenius grubu Schur çarpanı Sonlu basit grupların sınıflandırılması devirli almaşık Lie türü seyrek görülen
Kesikli gruplar Kafesler Tam sayılar ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) Serbest grup Modüler gruplar PSL(2, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) SL(2, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) Aritmetik grup Kafes Hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları Solenoit Çember Genel doğrusal GL(n) Özel doğrusal SL(n) Dikgen O(n) Öklid E(n) Özel dikgen SO(n) Birimcil U(n) Özel birimcil SU(n) Simplektik Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Açıkoruyan Difeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Cebirsel gruplar Doğrusal cebirsel grup İndirgeyici grup Abel varyetesi Eliptik eğri
g t d

Matematikte cebirsel yapı; boş olmayan bir A kümesi (taşıyıcı küme veya tanım kümesi), bu küme üzerinde tanımlanmış bir veya daha fazla işlem (genellikle toplama ve çarpma gibi ikili işlemler) ve bu işlemlerin sağlaması gereken sonlu sayıda özdeşlikten (aksiyom) oluşan bir yapıdır.

Cebirsel yapıların incelenmesi genellikle soyut cebirin konusudur. Bu yapıların genel teorisi ise evrensel cebir ve kategori teorisi kapsamında biçimselleştirilmiştir.

Cebirsel yapılar içerdikleri küme ve işlem sayısına, ayrıca sağladıkları aksiyomlara göre sınıflandırılır:

• Grup benzeri yapılar (tek ikili işlem):
  • Yarı grup: Birleşmeli bir ikili işleme sahip yapı.
  • Monoid: Birim (etkisiz) elemanı olan bir yarı grup.
  • Grup: Her elemanının bir tersi bulunan bir monoid.
  • Abel grubu: İşlemi değişmeli olan bir grup.

• Halka benzeri yapılar (iki ikili işlem):
  • Halka: Toplama altında bir Abel grubu, çarpma altında bir monoid (veya yarı grup) oluşturan ve çarpmanın toplama üzerine dağıldığı yapı.
  • Değişmeli halka: Çarpma işlemi değişmeli olan halka.
  • Cisim: Aşikar olmayan ( 1 ≠ 0 {\displaystyle 1\neq 0} ) ve sıfırdan farklı her elemanının çarpımsal tersi bulunan bir değişmeli halka (örneğin rasyonel, gerçel veya karmaşık sayılar).

• İki kümeli yapılar:
  • Modül: Bir halkanın elemanlarıyla skaler çarpma işlemi ile donatılmış bir Abel grubu.
  • Vektör uzayı: Skalerleri bir cisimden gelen ve skaler çarpma işlemi ile donatılmış bir Abel grubu (cisim üzerindeki modül).

Cebirsel yapıların işlemlerinin sağlaması gereken en yaygın aksiyomlar şunlardır:

• Değişme özelliği (Komütatiflik): x ∗ y = y ∗ x {\displaystyle x*y=y*x}
• Birleşme özelliği (Asosiyatiflik): ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) {\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}
• Dağılma özelliği (Distribütiflik): Hem soldan ( x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) {\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)} ) hem de sağdan ( ( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) {\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)} ) dağılma özelliği.
• Etkisiz eleman: Bir ∗ {\displaystyle *} işlemi için her x {\displaystyle x} elemanına uygulandığında x ∗ e = x {\displaystyle x*e=x} ve e ∗ x = x {\displaystyle e*x=x} eşitliğini sağlayan bir e {\displaystyle e} elemanının varlığı.
• Ters eleman: Birim elemanı e {\displaystyle e} olan bir işlemde, her x {\displaystyle x} elemanı için x ∗ x − 1 = e {\displaystyle x*x^{-1}=e} ve x − 1 ∗ x = e {\displaystyle x^{-1}*x=e} eşitliğini sağlayan bir x − 1 {\displaystyle x^{-1}} elemanının varlığı.

• Matematiksel yapı
• Evrensel cebir
• Kategori teorisi

Cebir ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.