Evrensel cebir, matematiğin bir dalı olup bütün cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.

Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim A {\displaystyle A} ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).

Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir Σ = { + , ∗ } {\displaystyle \Sigma =\{+,*\}} .

+ :: A × A → A {\displaystyle +::A\times A\rightarrow A}
∗ :: A × A → A {\displaystyle *::A\times A\rightarrow A}
0 ::→ A {\displaystyle 0::\rightarrow A}
1 ::→ A {\displaystyle 1::\rightarrow A}

0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.

0 + x = x {\displaystyle 0+x=x}
x + y = y + x {\displaystyle x+y=y+x}
( x + y ) + z = x + ( y + z ) {\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)}
x ∗ 1 = x {\displaystyle x*1=x}
x ∗ y = y ∗ x {\displaystyle x*y=y*x}
( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) {\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}

Yukardaki imza Σ {\displaystyle \Sigma } bir cebir doğasal sayılardır N ( N , + N , ∗ N , 0 N , 1 N ) {\displaystyle N(\mathbb {N} ,+^{N},*^{N},0^{N},1^{N})} . Burada + N {\displaystyle +^{N}} bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.

Bu cebir yukardaki E {\displaystyle E} adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy") N ⊨ E {\displaystyle N\models E} . Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.

E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım. B = ( { a , b } , + B , ∗ B , 0 B , 1 B ) {\displaystyle B=(\{a,b\},+^{B},*^{B},0^{B},1^{B})}

0 B ↦ a {\displaystyle 0^{B}\mapsto a}
1 B ↦ b {\displaystyle 1^{B}\mapsto b}
a + B a ↦ a {\displaystyle a+^{B}a\mapsto a}
a + B b ↦ b {\displaystyle a+^{B}b\mapsto b}
b + B a ↦ b {\displaystyle b+^{B}a\mapsto b}
b + B b ↦ b {\displaystyle b+^{B}b\mapsto b}
a ∗ B a ↦ a {\displaystyle a*^{B}a\mapsto a}
a ∗ B b ↦ a {\displaystyle a*^{B}b\mapsto a}
b ∗ B a ↦ a {\displaystyle b*^{B}a\mapsto a}
b ∗ B b ↦ b {\displaystyle b*^{B}b\mapsto b}

Bunun bir model olduğunu (yani B ⊨ E {\displaystyle B\models E} ifadesini) kanıtlamak kolaydır.

Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:

  • Bir eşitlikler birimini E {\displaystyle E} nin modeli var mıdır?
  • E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
  • E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?
Mesela x = 1 ∗ x {\displaystyle x=1*x} eşitliği, yukardaki E {\displaystyle E} nin bir neticesidir. E ⊨ x = 1 ∗ x {\displaystyle E\models x=1*x} yazarak bunu ifade ederiz.
{ s = t | E ⊨ s = t } {\displaystyle \{s=t|E\models s=t\}} birimine "E'nin teorisi" denilir.

Kaynakça

  • Wolfgang Wechler. Universal Algebra. Springer-Verlag

Dış bağlantılar